Номер 21.35, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.35. a) $sin(arctg(-\sqrt{3}));$

б) $tg(arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}));$

в) $cos(arctg 0);$

г) $ctg(arctg(-1)).$

а) Чтобы вычислить $\sin(\arctan(-\sqrt{3}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения $\arctan(-\sqrt{3})$.

Пусть $\alpha = \arctan(-\sqrt{3})$. По определению арктангенса, это означает, что $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Известно, что тангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\sqrt{3}$. Так как тангенс — нечетная функция, то есть $\tan(-x) = -\tan(x)$, получаем $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$\sin(\arctan(-\sqrt{3})) = \sin(-\frac{\pi}{3})$

Синус также является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому:

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$

Значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Для вычисления $\tan(\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}))$ воспользуемся основным свойством арктангенса.

По определению обратной тригонометрической функции, для любого действительного числа $x$ справедливо тождество: $\tan(\arctan(x)) = x$.

В данном случае $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Применяя это свойство, получаем:

$\tan(\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3})) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Чтобы вычислить $\cos(\arctan(0))$, сначала найдем значение $\arctan(0)$.

Пусть $\alpha = \arctan(0)$. По определению, это означает, что $\tan(\alpha) = 0$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Единственный угол в этом интервале, тангенс которого равен нулю, — это $0$. Таким образом, $\arctan(0) = 0$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\cos(\arctan(0)) = \cos(0)$

Значение $\cos(0)$ равно $1$.

Ответ: $1$

г) Чтобы вычислить $\cot(\arctan(-1))$, сначала найдем значение $\arctan(-1)$.

Пусть $\alpha = \arctan(-1)$. По определению, это означает, что $\tan(\alpha) = -1$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Известно, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Так как тангенс — нечетная функция, $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$\cot(\arctan(-1)) = \cot(-\frac{\pi}{4})$

Котангенс является нечетной функцией, то есть $\cot(-x) = -\cot(x)$. Поэтому:

$\cot(-\frac{\pi}{4}) = -\cot(\frac{\pi}{4})$

Значение $\cot(\frac{\pi}{4})$ равно $1$.

Следовательно, $\cot(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Другой способ решения — использовать тождество $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$ (при условии $\tan(x) \neq 0$).

Пусть $\alpha = \arctan(-1)$, тогда $\tan(\alpha) = -1$.

$\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: $-1$