Номер 21.28, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.28. a) $y = \arccos(2x);$

Б) $y = \arccos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{5\pi}{6};$

В) $y = -\arccos\left(\frac{x}{3}\right);$

Г) $y = \arccos(2(x - 1)) - \frac{\pi}{2}. $

а) $y = \arccos 2x$

Найдём область определения функции. Аргумент функции арккосинус, в данном случае $2x$, должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Составим и решим неравенство:
$-1 \le 2x \le 1$
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.
Теперь найдём область значений. Стандартная область значений для функции $t = \arccos(u)$ — это отрезок $[0; \pi]$. В рассматриваемой функции $y = \arccos 2x$ отсутствуют преобразования, которые изменяют значения по оси ординат (вертикальный сдвиг или растяжение), поэтому область значений остаётся стандартной: $E(y) = [0; \pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$, область значений $E(y) = [0; \pi]$.

б) $y = \arccos\frac{x}{2} - \frac{5\pi}{6}$

Найдём область определения. Аргумент функции арккосинус $\frac{x}{2}$ должен лежать в отрезке $[-1; 1]$:
$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$
Умножим все части неравенства на 2:
$-2 \le x \le 2$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2; 2]$.
Найдём область значений. Область значений для $t = \arccos\frac{x}{2}$ есть отрезок $[0; \pi]$:
$0 \le \arccos\frac{x}{2} \le \pi$
Функция $y$ получается путём вычитания константы $\frac{5\pi}{6}$ из $\arccos\frac{x}{2}$. Применим это преобразование ко всем частям неравенства:
$0 - \frac{5\pi}{6} \le \arccos\frac{x}{2} - \frac{5\pi}{6} \le \pi - \frac{5\pi}{6}$
$-\frac{5\pi}{6} \le y \le \frac{6\pi - 5\pi}{6}$
$-\frac{5\pi}{6} \le y \le \frac{\pi}{6}$
Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-2; 2]$, область значений $E(y) = [-\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$.

в) $y = -\arccos\frac{x}{3}$

Найдём область определения. Аргумент функции арккосинус $\frac{x}{3}$ должен лежать в отрезке $[-1; 1]$:
$-1 \le \frac{x}{3} \le 1$
Умножим все части неравенства на 3:
$-3 \le x \le 3$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-3; 3]$.
Найдём область значений. Область значений для $t = \arccos\frac{x}{3}$ есть отрезок $[0; \pi]$:
$0 \le \arccos\frac{x}{3} \le \pi$
Функция $y$ получается умножением $\arccos\frac{x}{3}$ на -1. Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$0 \ge -\arccos\frac{x}{3} \ge -\pi$
$0 \ge y \ge -\pi$
Записав в стандартном виде, получим:
$-\pi \le y \le 0$
Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\pi; 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; 3]$, область значений $E(y) = [-\pi; 0]$.

г) $y = \arccos(2(x - 1)) - \frac{\pi}{2}$

Найдём область определения. Аргумент функции арккосинус $2(x - 1)$ должен лежать в отрезке $[-1; 1]$:
$-1 \le 2(x - 1) \le 1$
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{1}{2} \le x - 1 \le \frac{1}{2}$
Прибавим ко всем частям 1:
$1 - \frac{1}{2} \le x \le 1 + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.
Найдём область значений. Область значений для $t = \arccos(2(x-1))$ есть отрезок $[0; \pi]$:
$0 \le \arccos(2(x-1)) \le \pi$
Чтобы получить значения $y$, вычтем $\frac{\pi}{2}$ из каждой части неравенства:
$0 - \frac{\pi}{2} \le \arccos(2(x-1)) - \frac{\pi}{2} \le \pi - \frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$
Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$, область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.