Номер 21.27, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.27. a) $y = -3 \arccos x$;

Б) $y = \frac{3\pi}{4} - \arccos x$;

В) $y = \frac{1}{2} \arccos x$;

Г) $y = \frac{2}{3} \arccos (x + 1,5)$.

Для решения данных задач необходимо найти область определения и область значений для каждой функции. В основе лежит знание свойств функции арккосинус: $y = \arccos x$.

• Область определения функции $y = \arccos x$: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений функции $y = \arccos x$: $E(y) = [0, \pi]$.

а) $y = -3 \arccos x$

1. Найдём область определения (D(y)).
Область определения данной функции совпадает с областью определения функции $\arccos x$, так как аргумент у арккосинуса не изменён. Следовательно, $x$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.
$D(y): -1 \le x \le 1$, то есть $D(y) = [-1, 1]$.

2. Найдём область значений (E(y)).
Мы знаем, что область значений функции $\arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Умножим все части этого двойного неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$-3 \cdot 0 \ge -3 \cdot \arccos x \ge -3 \cdot \pi$
$0 \ge y \ge -3\pi$
Запишем в стандартном виде:
$-3\pi \le y \le 0$.
Следовательно, область значений функции $E(y) = [-3\pi, 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; Область значений $E(y) = [-3\pi, 0]$.

б) $y = \frac{3\pi}{4} - \arccos x$

1. Найдём область определения (D(y)).
Аргумент функции $\arccos x$ — это $x$. Значит, область определения та же, что и у стандартного арккосинуса.
$D(y) = [-1, 1]$.

2. Найдём область значений (E(y)).
Исходное неравенство для области значений арккосинуса: $0 \le \arccos x \le \pi$.
Сначала умножим на -1, меняя знаки неравенства:
$0 \ge -\arccos x \ge -\pi$, или $-\pi \le -\arccos x \le 0$.
Теперь прибавим ко всем частям неравенства $\frac{3\pi}{4}$:
$\frac{3\pi}{4} - \pi \le \frac{3\pi}{4} - \arccos x \le \frac{3\pi}{4} + 0$
$\frac{3\pi - 4\pi}{4} \le y \le \frac{3\pi}{4}$
$-\frac{\pi}{4} \le y \le \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; Область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

в) $y = \frac{1}{2} \arccos x$

1. Найдём область определения (D(y)).
Область определения функции не изменяется, так как аргумент арккосинуса — $x$.
$D(y) = [-1, 1]$.

2. Найдём область значений (E(y)).
Используем известное неравенство: $0 \le \arccos x \le \pi$.
Умножим все части неравенства на положительное число $\frac{1}{2}$. Знаки неравенства сохраняются.
$\frac{1}{2} \cdot 0 \le \frac{1}{2} \cdot \arccos x \le \frac{1}{2} \cdot \pi$
$0 \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, область значений функции $E(y) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; Область значений $E(y) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

г) $y = \frac{2}{3} \arccos(x + 1,5)$

1. Найдём область определения (D(y)).
Аргумент функции арккосинус, $(x + 1,5)$, должен находиться в пределах от -1 до 1.
$-1 \le x + 1,5 \le 1$
Вычтем 1,5 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$-1 - 1,5 \le x \le 1 - 1,5$
$-2,5 \le x \le -0,5$.
Следовательно, область определения $D(y) = [-2,5; -0,5]$.

2. Найдём область значений (E(y)).
Независимо от своего аргумента (если он находится в допустимой области), функция $\arccos$ возвращает значения в диапазоне $[0, \pi]$.
$0 \le \arccos(x + 1,5) \le \pi$.
Умножим все части неравенства на положительный коэффициент $\frac{2}{3}$:
$\frac{2}{3} \cdot 0 \le \frac{2}{3} \cdot \arccos(x + 1,5) \le \frac{2}{3} \cdot \pi$
$0 \le y \le \frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, область значений функции $E(y) = [0, \frac{2\pi}{3}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-2,5; -0,5]$; Область значений $E(y) = [0, \frac{2\pi}{3}]$.