Номер 21.24, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.24. Исследуйте на чётность функцию:

a) $y = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8};$

б) $y = \frac{\arccos x^2}{x^3};$

в) $y = \frac{x^4}{\arccos x};$

г) $y = 2x^3 \arccos x^6.$

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо выполнить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля. То есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является нечётной.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

а) $y = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8}$

Пусть $f(x) = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8}$.

1. Найдём область определения функции. Аргумент арккосинуса должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.

$-1 \le x^2 \le 1$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, неравенство сводится к $0 \le x^2 \le 1$. Это неравенство выполняется при $x \in [-1, 1]$.

Область определения $D(f) = [-1, 1]$ симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \arccos((-x)^2) + \frac{\pi}{8} = \arccos(x^2) + \frac{\pi}{8}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

б) $y = \frac{\arccos x^2}{x^3}$

Пусть $f(x) = \frac{\arccos x^2}{x^3}$.

1. Найдём область определения. Из предыдущего пункта мы знаем, что для $\arccos x^2$ должно выполняться $x \in [-1, 1]$. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 \ne 0$, что означает $x \ne 0$.

Область определения $D(f) = [-1, 0) \cup (0, 1]$ симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\arccos((-x)^2)}{(-x)^3} = \frac{\arccos(x^2)}{-x^3} = -\frac{\arccos(x^2)}{x^3}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

в) $y = \frac{x^4}{\arccos x}$

Пусть $f(x) = \frac{x^4}{\arccos x}$.

1. Найдём область определения. Аргумент арккосинуса $x \in [-1, 1]$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\arccos x \ne 0$.

$\arccos x = 0$ при $x=1$. Следовательно, $x \ne 1$.

Область определения $D(f) = [-1, 1)$. Эта область не является симметричной относительно нуля, так как точка $x = -1$ принадлежит области определения, а точка $x = 1$ — нет.

Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

г) $y = 2x^3 \arccos x^6$

Пусть $f(x) = 2x^3 \arccos x^6$.

1. Найдём область определения. Аргумент арккосинуса $x^6$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.

$-1 \le x^6 \le 1$.

Поскольку $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, неравенство сводится к $0 \le x^6 \le 1$. Это неравенство выполняется при $x \in [-1, 1]$.

Область определения $D(f) = [-1, 1]$ симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = 2(-x)^3 \arccos((-x)^6) = 2(-x^3) \arccos(x^6) = -2x^3 \arccos(x^6)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.