Номер 21.17, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.17. a) $\cos \left(2 \arccos \frac{1}{2} - 3 \arccos 0 - \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right);$

б) $\frac{1}{3} \left(\arccos \frac{1}{3} + \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right).$

а) $cos\left(2 \arccos \frac{1}{2} - 3 \arccos 0 - \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

Для решения этой задачи необходимо найти значения арккосинусов для табличных значений косинуса. Вспомним, что область значений функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.

1. Найдем значение $\arccos \frac{1}{2}$. Это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.
$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

2. Найдем значение $\arccos 0$. Это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $0$. Этот угол равен $\frac{\pi}{2}$.
$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.

3. Найдем значение $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$. Используем свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
$\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos \frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

4. Подставим найденные значения в исходное выражение:
$cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{3} - 3 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\right)$.

5. Упростим выражение в скобках:
$cos\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\right) = cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$.

6. Вычислим значение косинуса. Используя свойство четности косинуса ($cos(-a) = cos(a)$), получаем:
$cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.

Ответ: 0

б) $\frac{1}{3}\left(\arccos \frac{1}{3} + \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством арккосинуса, которое связывает значения функции для противоположных аргументов: $\arccos x + \arccos(-x) = \pi$, для любого $x \in [-1, 1]$.

1. В данном выражении $x = \frac{1}{3}$. Так как $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$, мы можем применить это свойство.
$\arccos \frac{1}{3} + \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) = \pi$.

2. Подставим значение суммы в исходное выражение:
$\frac{1}{3} \cdot \pi = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$