Номер 21.15, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.15. a) $\arccos(-1) + \arccos 0;$

б) $\arccos \frac{1}{2} - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2};$

в) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2};$

г) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos \frac{1}{2}.$

а) $\arccos(-1) + \arccos 0$

По определению, арккосинус числа $a$ ($\arccos a$) — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

1. Найдём $\arccos(-1)$. Нам нужен угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -1$. Этим углом является $\pi$. Таким образом, $\arccos(-1) = \pi$.

2. Найдём $\arccos 0$. Нам нужен угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.

3. Сложим полученные значения: $\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

б) $\arccos\frac{1}{2} - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Найдём $\arccos\frac{1}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

2. Найдём $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, — это $\frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

3. Выполним вычитание: $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

в) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения этого примера можно воспользоваться свойством арккосинуса: $\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$ для любого $x \in [-1, 1]$.

В нашем случае $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому сумма выражения равна $\pi$.

Также можно решить задачу, вычислив каждое слагаемое по отдельности.

1. Найдём $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $\frac{3\pi}{4}$. Значит, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$.

2. Найдём $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $\frac{\pi}{4}$. Значит, $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

3. Сложим полученные значения: $\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: $\pi$

г) $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos\frac{1}{2}$

1. Найдём $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$. Можно воспользоваться формулой $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$. Мы знаем, что $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

2. Теперь выполним вычитание, используя найденные значения: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos\frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$