Номер 21.8, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.8. a) $y = \arcsin (x - 1) + \frac{\pi}{2}$;

б) $y = -\arcsin (x + 2) - \frac{\pi}{3}$.

а) $y = \arcsin(x - 1) + \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти область значений функции, необходимо определить, какие значения может принимать $y$.

Область значений стандартной функции арксинус $f(t) = \arcsin(t)$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Это означает, что для любого допустимого аргумента функции (в данном случае, для $t = x - 1$) выполняется двойное неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x - 1) \le \frac{\pi}{2}$

Функция $y$ получается из $\arcsin(x-1)$ прибавлением константы $\frac{\pi}{2}$. Чтобы найти границы для $y$, прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le \arcsin(x - 1) + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

Выполним сложение:
$0 \le y \le \pi$

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок от 0 до $\pi$.

Ответ: $E(y) = [0, \pi]$.

б) $y = -\arcsin(x + 2) - \frac{\pi}{3}$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Исходной является функция арксинус.

Область значений для $\arcsin(x+2)$ также является отрезком $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x + 2) \le \frac{\pi}{2}$

Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-\frac{\pi}{2}) \cdot (-1) \ge -\arcsin(x + 2) \ge \frac{\pi}{2} \cdot (-1)$
$\frac{\pi}{2} \ge -\arcsin(x + 2) \ge -\frac{\pi}{2}$

Для удобства запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-\frac{\pi}{2} \le -\arcsin(x + 2) \le \frac{\pi}{2}$

Теперь вычтем константу $\frac{\pi}{3}$ из всех частей неравенства, чтобы получить выражение для $y$:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \le -\arcsin(x + 2) - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6 и выполним вычисления:
$-\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \le y \le \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}$
$-\frac{5\pi}{6} \le y \le \frac{\pi}{6}$

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.