Номер 21.7, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

21.7. а) $y = \arcsin x$;

б) $y = \arcsin (-x)$;

в) $y = -\arcsin x$;

г) $y = -\arcsin (-x)$.

а) $y = \arcsin x$

Функция $y = \arcsin x$ (арксинус $x$) является обратной к функции $y = \sin x$ на отрезке $x \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.
• Нечетность: функция является нечетной, так как $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Монотонность: функция строго возрастает на всей области определения.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

• при $x = -1$, $y = \arcsin(-1) = -\pi/2$;
• при $x = -1/2$, $y = \arcsin(-1/2) = -\pi/6$;
• при $x = 0$, $y = \arcsin(0) = 0$;
• при $x = 1/2$, $y = \arcsin(1/2) = \pi/6$;
• при $x = 1$, $y = \arcsin(1) = \pi/2$.

График функции представляет собой кривую, проходящую через начало координат, соединяющую точки $(-1, -\pi/2)$ и $(1, \pi/2)$.

Ответ: График функции $y = \arcsin x$ — это возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат, с областью определения $[-1, 1]$ и областью значений $[-\pi/2, \pi/2]$, как показано на рисунке выше.

б) $y = \arcsin(-x)$

График функции $y = \arcsin(-x)$ можно получить из графика $y = \arcsin x$ с помощью геометрического преобразования. Преобразование вида $f(x) \to f(-x)$ соответствует симметричному отражению графика исходной функции относительно оси ординат (оси OY).

Также можно воспользоваться свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Таким образом, функция $y = \arcsin(-x)$ идентична функции $y = -\arcsin(x)$ из пункта в).

Основные свойства функции:

• Область определения: $-1 \le -x \le 1$, что эквивалентно $1 \ge x \ge -1$. $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.
• Монотонность: функция строго убывает на всей области определения.

Ключевые точки графика — это точки из пункта а), отраженные относительно оси OY: $(-1, \pi/2)$, $(0, 0)$, $(1, -\pi/2)$.

Ответ: График функции $y = \arcsin(-x)$ является отражением графика $y = \arcsin x$ относительно оси OY. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(-1, \pi/2)$ и $(1, -\pi/2)$, как показано на рисунке.

в) $y = -\arcsin x$

График функции $y = -\arcsin x$ можно получить из графика $y = \arcsin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси OX). Это соответствует преобразованию $f(x) \to -f(x)$.

Как было показано в пункте б), из-за нечетности арксинуса, $y = -\arcsin x$ совпадает с $y = \arcsin(-x)$. Следовательно, их графики идентичны.

Ключевые точки графика — это точки из пункта а), отраженные относительно оси OX: $(-1, \pi/2)$, $(0, 0)$, $(1, -\pi/2)$.

Ответ: График функции $y = -\arcsin x$ является отражением графика $y = \arcsin x$ относительно оси OX. График идентичен графику функции из пункта б).

г) $y = -\arcsin(-x)$

Для построения этого графика воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = -(\arcsin(-x)) = -(-\arcsin x) = \arcsin x$.

Таким образом, функция $y = -\arcsin(-x)$ полностью идентична функции $y = \arcsin x$ из пункта а).

Геометрически это можно интерпретировать как последовательное выполнение двух преобразований: сначала отражение графика $y = \arcsin x$ относительно оси OY (получаем $y = \arcsin(-x)$), а затем отражение полученного графика относительно оси OX. Два таких отражения эквивалентны центральной симметрии относительно начала координат. Поскольку график $y = \arcsin x$ уже симметричен относительно начала координат, он переходит сам в себя.

Ответ: График функции $y = -\arcsin(-x)$ совпадает с графиком функции $y = \arcsin x$ из пункта а).