Номер 20.30, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.30. a) Сколько целочисленных решений неравенства $ \frac{4 - x}{x + 5} \ge 0 $ удовлетворяют неравенству $ 1 + \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi x}{2} \ge 0 $?

б) Сколько целочисленных решений неравенства $ 5x + 36 \ge x^2 $ удовлетворяют неравенству $ 4x^2 + 1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi x}{6} > 4x $?

а)

Сначала найдем целочисленные решения первого неравенства $\frac{4-x}{x+5} \ge 0$.

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

1. Числитель: $4-x=0 \implies x=4$.

2. Знаменатель: $x+5=0 \implies x=-5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne -5$.

Отметим точки $-5$ и $4$ на числовой оси. Точка $x=4$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое, а точка $x=-5$ — выколотой (исключенной).

Определим знак выражения $\frac{4-x}{x+5}$ на каждом из интервалов: $(-\infty, -5)$, $(-5, 4)$, $(4, \infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{4-5}{5+5} = -0.1 < 0$.
• При $-5 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{4-0}{0+5} = 0.8 > 0$.
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{4-(-6)}{-6+5} = -10 < 0$.

Нас интересует промежуток, где выражение больше или равно нулю. Это интервал $(-5, 4]$.

Целочисленными решениями, принадлежащими этому промежутку, являются: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

Теперь рассмотрим второе неравенство $1 + \ctg^2 \frac{\pi x}{2} \ge 0$.

Выражение $\ctg^2 \frac{\pi x}{2}$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $\ctg^2 \frac{\pi x}{2} \ge 0$. Следовательно, сумма $1 + \ctg^2 \frac{\pi x}{2}$ всегда будет не меньше 1, то есть $1 + \ctg^2 \frac{\pi x}{2} \ge 1 > 0$.

Это неравенство справедливо для всех значений $x$, для которых существует $\ctg \frac{\pi x}{2}$.

Функция котангенса $y = \ctg(\alpha)$ не определена, когда $\sin(\alpha) = 0$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi x}{2}$. Условие $\sin \frac{\pi x}{2} = 0$ выполняется, когда $\frac{\pi x}{2} = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Отсюда получаем $x = 2k$.

Это означает, что второе неравенство не определено для всех четных целых чисел $x$. Значит, из найденного набора целочисленных решений $\{ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}$ нужно исключить все четные числа.

Четные числа в этом наборе: $-4, -2, 0, 2, 4$.

Оставшиеся решения, которые удовлетворяют обоим условиям: $-3, -1, 1, 3$.

Всего таких решений 4.

Ответ: 4

б)

Сначала найдем целочисленные решения первого неравенства $5x + 36 \ge x^2$.

Перепишем его в стандартном виде: $x^2 - 5x - 36 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, получаем:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 13}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{5 + 13}{2} = 9$.

Парабола $y = x^2 - 5x - 36$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x - 36 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-4, 9]$.

Целочисленными решениями, принадлежащими этому отрезку, являются: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Всего 14 решений.

Теперь рассмотрим второе неравенство $4x^2 + 1 + \tg^2 \frac{\pi x}{6} > 4x$.

Перенесем $4x$ в левую часть и преобразуем выражение:

$(4x^2 - 4x + 1) + \tg^2 \frac{\pi x}{6} > 0$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $(2x-1)^2$. Неравенство принимает вид:

$(2x - 1)^2 + \tg^2 \frac{\pi x}{6} > 0$.

Левая часть неравенства представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(2x - 1)^2 \ge 0$ и $\tg^2 \frac{\pi x}{6} \ge 0$. Эта сумма будет строго больше нуля всегда, кроме случая, когда оба слагаемых одновременно равны нулю.

Слагаемое $(2x-1)^2$ равно нулю при $x = 1/2$. Так как мы ищем целочисленные решения, $x$ не может быть равен $1/2$. Для любого целого $x$ значение $(2x-1)^2$ будет целым положительным числом (наименьшее значение равно 1 при $x=0$ и $x=1$).

Следовательно, неравенство $(2x - 1)^2 + \tg^2 \frac{\pi x}{6} > 0$ будет верным для всех целых $x$, для которых определено выражение $\tg \frac{\pi x}{6}$.

Функция тангенса $y = \tg(\alpha)$ не определена, когда $\cos(\alpha) = 0$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi x}{6}$.

Условие $\cos \frac{\pi x}{6} = 0$ выполняется, когда $\frac{\pi x}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда получаем $x = 3 + 6k$.

Это означает, что второе неравенство не определено для целых чисел $x$ вида $3+6k$. Из найденного ранее набора целочисленных решений $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ нужно исключить числа, имеющие вид $3+6k$.

Найдем такие числа в нашем наборе:

• при $k = -1$: $x = 3 + 6(-1) = -3$.
• при $k = 0$: $x = 3 + 6(0) = 3$.
• при $k = 1$: $x = 3 + 6(1) = 9$.

Исключаем из набора решений числа $-3, 3, 9$.

Оставшиеся решения, которые удовлетворяют обоим условиям: $\{-4, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

Подсчитаем их количество: 11.

Ответ: 11