Номер 20.27, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.27. Решите неравенство:

a) $ \text{tg } x \le 1; $

б) $ \text{ctg } x > \sqrt{3}; $

в) $ \text{tg } x > - \frac{\sqrt{3}}{3}; $

г) $ \text{ctg } x \le -1. $

а) Решим неравенство $\operatorname{tg} x \le 1$.

1. Область определения тангенса ($y=\operatorname{tg} x$) — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках тангенс не определён, так как косинус равен нулю.

2. Найдём значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x = 1$. Основное решение этого уравнения — $x = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

3. Функция $y = \operatorname{tg} x$ является периодической с периодом $\pi$ и возрастает на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим один такой интервал, например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

4. На этом интервале нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x \le 1$. Так как функция возрастающая, это неравенство будет выполняться для всех $x$, которые меньше или равны $\frac{\pi}{4}$, но при этом находятся в рассматриваемом интервале. Левая граница интервала — это вертикальная асимптота $x = -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, для интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение будет: $-\frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{4}$.

5. Чтобы получить все решения, добавим к границам этого интервала $\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$.

1. Область определения котангенса ($y=\operatorname{ctg} x$) — это все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках котангенс не определён, так как синус равен нулю.

2. Найдём значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$. Основное решение этого уравнения — $x = \operatorname{arccot}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

3. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является периодической с периодом $\pi$ и убывает на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим один такой интервал, например, $(0, \pi)$.

4. На этом интервале нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$. Так как функция убывающая, это неравенство будет выполняться для всех $x$, которые меньше $\frac{\pi}{6}$, но при этом находятся в рассматриваемом интервале. Левая граница интервала — это вертикальная асимптота $x = 0$.

Таким образом, для интервала $(0, \pi)$ решение будет: $0 < x < \frac{\pi}{6}$.

5. Чтобы получить все решения, добавим к границам этого интервала $\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1. Область определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Основное решение этого уравнения — $x = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

3. Функция $y = \operatorname{tg} x$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

4. На этом интервале нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Так как функция возрастающая, это неравенство будет выполняться для всех $x$, которые больше $-\frac{\pi}{6}$, до правой границы интервала (вертикальной асимптоты $x = \frac{\pi}{2}$).

Таким образом, для интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение будет: $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$.

5. Учитывая периодичность тангенса (период $\pi$), общее решение имеет вид:
Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\operatorname{ctg} x \le -1$.

1. Область определения котангенса: $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = -1$. Основное решение этого уравнения — $x = \operatorname{arccot}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

3. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим интервал $(0, \pi)$.

4. На этом интервале нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x \le -1$. Так как функция убывающая, это неравенство будет выполняться для всех $x$, которые больше или равны $\frac{3\pi}{4}$, до правой границы интервала (вертикальной асимптоты $x = \pi$).

Таким образом, для интервала $(0, \pi)$ решение будет: $\frac{3\pi}{4} \le x < \pi$.

5. Учитывая периодичность котангенса (период $\pi$), общее решение имеет вид:
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + \pi n \le x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.