Номер 20.29, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

$9x^2 - 6x + 6 = (\sqrt{5} - \operatorname{tg} 3\pi x)(\sqrt{5} + \operatorname{tg} 3\pi x)$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $\text{tg}(3\pi x)$ определена, если ее аргумент $3\pi x$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого числа $n$. Это эквивалентно условию $\cos(3\pi x) \neq 0$.

Условие $\cos(3\pi x) = 0$ выполняется при $3\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Отсюда получаем ограничения на $x$: $x \neq \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Далее, упростим правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(\sqrt{5} - \text{tg } 3\pi x)(\sqrt{5} + \text{tg } 3\pi x) = (\sqrt{5})^2 - (\text{tg } 3\pi x)^2 = 5 - \text{tg}^2 3\pi x$.

Подставив это в исходное уравнение, получим:

$9x^2 - 6x + 6 = 5 - \text{tg}^2 3\pi x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$9x^2 - 6x + 6 - 5 + \text{tg}^2 3\pi x = 0$,

что упрощается до

$9x^2 - 6x + 1 + \text{tg}^2 3\pi x = 0$.

Заметим, что выражение $9x^2 - 6x + 1$ является полным квадратом: $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(3x-1)^2 + \text{tg}^2 3\pi x = 0$.

В левой части уравнения находится сумма двух неотрицательных выражений, поскольку $(3x-1)^2 \ge 0$ и $\text{tg}^2 3\pi x \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений:

$(3x-1)^2 = 0$

и

$\text{tg}^2 3\pi x = 0$.

Из первого уравнения, $(3x-1)^2 = 0$, следует, что $3x - 1 = 0$, откуда $x = \frac{1}{3}$.

Из второго уравнения, $\text{tg}^2 3\pi x = 0$, следует, что $\text{tg } 3\pi x = 0$. Это верно, когда $3\pi x = k\pi$ для любого целого $k$. Отсюда $x = \frac{k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решение первого уравнения $x = \frac{1}{3}$ является частным случаем решения второго уравнения при $k=1$. Таким образом, $x=\frac{1}{3}$ является единственным решением системы.

Наконец, проверим, принадлежит ли найденный корень $x = \frac{1}{3}$ области допустимых значений, то есть выполняется ли условие $x \neq \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$.

Для этого проверим, может ли $x = \frac{1}{3}$ быть представлено в виде $\frac{1}{6} + \frac{n}{3}$ для какого-либо целого $n$. Решим уравнение $\frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$ относительно $n$.

Умножив обе части на 6, получим: $2 = 1 + 2n$, что приводит к $1 = 2n$, или $n = \frac{1}{2}$.

Поскольку $n$ должно быть целым числом, а $\frac{1}{2}$ не является целым, то равенство невозможно. Это означает, что решение $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.