Номер 21.5, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.5. Найдите область значений функции:

а) $y = 2 \arcsin x$;

б) $y = -4 \arcsin x$;

в) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$;

г) $y = \pi - 2 \arcsin x$.

Для нахождения области значений каждой функции мы будем исходить из того, что область значений функции арксинус $E(\arcsin x)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$
Применяя к этому неравенству арифметические операции, мы найдем область значений для каждой из заданных функций.

а) $y = 2 \arcsin x$
Чтобы найти область значений функции $y = 2 \arcsin x$, умножим все части исходного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2 \arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
Упростив, получаем:
$-\pi \le 2 \arcsin x \le \pi$
Следовательно, $-\pi \le y \le \pi$.
Ответ: $E(y) = [-\pi; \pi]$.

б) $y = -4 \arcsin x$
Умножим все части неравенства $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ на -4. Так как -4 — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:
$(-4) \cdot (-\frac{\pi}{2}) \ge -4 \arcsin x \ge (-4) \cdot \frac{\pi}{2}$
Выполнив умножение, получим:
$2\pi \ge -4 \arcsin x \ge -2\pi$
Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-2\pi \le -4 \arcsin x \le 2\pi$
Следовательно, $-2\pi \le y \le 2\pi$.
Ответ: $E(y) = [-2\pi; 2\pi]$.

в) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$
К каждой части исходного неравенства $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ прибавим $\frac{\pi}{2}$. Знаки неравенства при этом не изменятся:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le \arcsin x + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
Упростив, получаем:
$0 \le \arcsin x + \frac{\pi}{2} \le \pi$
Следовательно, $0 \le y \le \pi$.
Ответ: $E(y) = [0; \pi]$.

г) $y = \pi - 2 \arcsin x$
Преобразование выполним в два шага. Сначала умножим неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ на -2. Так как -2 — отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-2) \cdot (-\frac{\pi}{2}) \ge -2 \arcsin x \ge (-2) \cdot \frac{\pi}{2}$
$\pi \ge -2 \arcsin x \ge -\pi$
Перепишем в стандартном виде:
$-\pi \le -2 \arcsin x \le \pi$
Теперь к каждой части этого неравенства прибавим $\pi$:
$\pi - \pi \le \pi - 2 \arcsin x \le \pi + \pi$
Упростив, получаем:
$0 \le \pi - 2 \arcsin x \le 2\pi$
Следовательно, $0 \le y \le 2\pi$.
Ответ: $E(y) = [0; 2\pi]$.