Номер 21.3, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.3. Найдите область определения функции:

а) $y = \arcsin x$;

б) $y = \arcsin (5 - 2x)$;

в) $y = \arcsin \frac{x}{2}$;

г) $y = \arcsin (x^2 - 3)$.

Область определения функции $y = \arcsin(f(x))$ задается неравенством $-1 \le f(x) \le 1$.

а) Для функции $y = \arcsin x$ аргументом является $x$.

Область определения находится из условия:

$-1 \le x \le 1$.

Это неравенство уже является решением.

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) Для функции $y = \arcsin(5 - 2x)$ аргументом является выражение $5 - 2x$.

Область определения находится из условия:

$-1 \le 5 - 2x \le 1$.

Решим это двойное неравенство. Вычтем 5 из всех частей:

$-1 - 5 \le -2x \le 1 - 5$

$-6 \le -2x \le -4$

Разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-6}{-2} \ge x \ge \frac{-4}{-2}$

$3 \ge x \ge 2$

Запишем в стандартном виде:

$2 \le x \le 3$

Ответ: $x \in [2; 3]$.

в) Для функции $y = \arcsin\frac{x}{2}$ аргументом является выражение $\frac{x}{2}$.

Область определения находится из условия:

$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$.

Умножим все части неравенства на 2 (знаки неравенства не меняются):

$-1 \cdot 2 \le x \le 1 \cdot 2$

$-2 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) Для функции $y = \arcsin(x^2 - 3)$ аргументом является выражение $x^2 - 3$.

Область определения находится из условия:

$-1 \le x^2 - 3 \le 1$.

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3 \ge -1 \\ x^2 - 3 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 - 3 \ge -1$

$x^2 \ge 2$

Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 3 \le 1$

$x^2 \le 4$

Решением этого неравенства является промежуток: $x \in [-2; 2]$.

Область определения исходной функции — это пересечение решений двух неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$ и $[-2; 2]$.

Пересекая эти множества, получаем:

$x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.