Номер 21.2, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.2. а) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

б) $ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right);$

в) $ \arcsin (-1);$

г) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

а)

По определению, арксинусом числа $a$ (где $|a| \le 1$) называется такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. То есть, $\arcsin(a) = \alpha$ равносильно $\sin(\alpha) = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Для нахождения значения $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Теперь найдем значение $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Нам нужно найти угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы тригонометрических функций известно, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит указанному промежутку.

Следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Тогда $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

б)

Для вычисления $\arcsin(-\frac{1}{2})$ используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Получаем: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2})$.

Найдем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$.

Этим углом является $\frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значит, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Отсюда следует, что $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

в)

Для вычисления $\arcsin(-1)$ воспользуемся свойством нечетности: $\arcsin(-1) = -\arcsin(1)$.

Найдем значение $\arcsin(1)$. Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin(\alpha) = 1$.

Таким углом является $\frac{\pi}{2}$, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\frac{\pi}{2}$ является концом промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Тогда $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

г)

Для вычисления $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ применим свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Найдем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Известно, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значит, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$