Номер 21.9, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.9. а) $y = 2 \arcsin x;$

б) $y = \frac{\pi}{3} - \arcsin x;$

в) $y = -\frac{1}{3} \arcsin x;$

г) $y = -2 \arcsin (x - 3).$

Для решения задачи найдём область определения и область значений для каждой из предложенных функций.

Основная функция $f(x) = \arcsin x$ имеет следующие свойства:

• Область определения $D(f) = [-1, 1]$
• Область значений $E(f) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

Эти свойства мы будем использовать для анализа каждой функции.

а) $y = 2 \arcsin x$

1. Область определения. Аргумент функции арксинус здесь $x$. Следовательно, его значения должны принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, область определения $D(y)$ функции $y = 2 \arcsin x$ совпадает с областью определения $y = \arcsin x$.
$D(y) = [-1, 1]$.

2. Область значений. Мы знаем, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.
Чтобы найти область значений для $y = 2 \arcsin x$, умножим все части этого неравенства на 2: $2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2 \arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\pi \le y \le \pi$.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\pi, \pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; область значений $E(y) = [-\pi, \pi]$.

б) $y = \frac{\pi}{3} - \arcsin x$

1. Область определения. Аргумент функции арксинус - $x$. Значит, область определения не отличается от стандартной: $D(y) = [-1, 1]$.

2. Область значений. Исходим из неравенства для $\arcsin x$: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.
Сначала умножим неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-(\frac{\pi}{2}) \le -\arcsin x \le -(-\frac{\pi}{2})$
$-\frac{\pi}{2} \le -\arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.
Теперь прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства: $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} - \arcsin x \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{2\pi - 3\pi}{6} \le y \le \frac{2\pi + 3\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{5\pi}{6}$.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

в) $y = -\frac{1}{3}\arcsin x$

1. Область определения. Аргумент функции арксинус - $x$. Область определения совпадает со стандартной: $D(y) = [-1, 1]$.

2. Область значений. Используем известное неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части на $-\frac{1}{3}$. Не забываем изменить знаки неравенства на противоположные: $(-\frac{1}{3}) \cdot \frac{\pi}{2} \le -\frac{1}{3}\arcsin x \le (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{\pi}{2})$
$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.

г) $y = -2 \arcsin(x - 3)$

1. Область определения. Аргументом функции арксинус является выражение $(x-3)$. Это выражение должно находиться в пределах от -1 до 1: $-1 \le x - 3 \le 1$.
Чтобы найти $x$, прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства: $-1 + 3 \le x \le 1 + 3$
$2 \le x \le 4$.
Таким образом, область определения $D(y) = [2, 4]$.

2. Область значений. Значение выражения $\arcsin(x-3)$ лежит в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x-3) \le \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части неравенства на -2, меняя знаки неравенства: $(-2) \cdot \frac{\pi}{2} \le -2 \arcsin(x - 3) \le (-2) \cdot (-\frac{\pi}{2})$
$-\pi \le y \le \pi$.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\pi, \pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [2, 4]$; область значений $E(y) = [-\pi, \pi]$.