Номер 21.13, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

21.13. a) $\arccos 0$;

б) $\arccos 1$;

в) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\arccos -\frac{1}{2}$.

а) По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) – это такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.
То есть, $\arccos a = \alpha$ равносильно системе: $\begin{cases} \cos \alpha = a \\ 0 \le \alpha \le \pi \end{cases}$.
Для $\arccos 0$ нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 0$.
Известно, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $\frac{\pi}{2}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) Для $\arccos 1$ нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 1$.
Известно, что $\cos 0 = 1$. Так как $0$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos 1 = 0$.
Ответ: $0$

в) Для $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это табличное значение. Известно, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

г) Для $\arccos(-\frac{1}{2})$ нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.
Воспользуемся свойством арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
Применим его к нашему случаю:
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$
Найдем $\arccos(\frac{1}{2})$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.
Теперь вычислим итоговое значение:
$\pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$