Номер 21.12, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.12. Постройте график функции:

а) $y = 3 |\arcsin x| - \arcsin x;$

б) $y = \arcsin x + |\arcsin x|;$

в) $y = |\arcsin x - \frac{\pi}{3}|;$

г) $y = -\arcsin |x - 2|.$

а) Постройте график функции $y = 3|\arcsin x| - \arcsin x$.

Область определения функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область определения данной функции $D(y) = [-1, 1]$. Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $\arcsin x$:

1. Если $\arcsin x \ge 0$, что соответствует $x \in [0, 1]$, то $|\arcsin x| = \arcsin x$.
Функция принимает вид: $y = 3\arcsin x - \arcsin x = 2\arcsin x$.

2. Если $\arcsin x < 0$, что соответствует $x \in [-1, 0)$, то $|\arcsin x| = -\arcsin x$.
Функция принимает вид: $y = 3(-\arcsin x) - \arcsin x = -3\arcsin x - \arcsin x = -4\arcsin x$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию: $ y = \begin{cases} 2 \arcsin x, & \text{если } x \in [0, 1] \\ -4 \arcsin x, & \text{если } x \in [-1, 0) \end{cases} $

Для построения графика:

• На промежутке $[0, 1]$ строим график функции $y = 2\arcsin x$. Это график $y = \arcsin x$, растянутый в 2 раза вдоль оси OY. Ключевые точки: $(0, 2\arcsin 0) = (0, 0)$ и $(1, 2\arcsin 1) = (1, 2 \cdot \frac{\pi}{2}) = (1, \pi)$.
• На промежутке $[-1, 0)$ строим график функции $y = -4\arcsin x$. Это график $y = \arcsin x$, растянутый в 4 раза вдоль оси OY и симметрично отраженный относительно оси OX. Ключевые точки: предел при $x \to 0^-$ равен $0$, и $(-1, -4\arcsin(-1)) = (-1, -4 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = (-1, 2\pi)$.

Ответ: График функции состоит из двух кривых, соединяющихся в точке $(0, 0)$. На отрезке $[0, 1]$ это часть графика $y = 2\arcsin x$, идущая из точки $(0, 0)$ в точку $(1, \pi)$. На полуинтервале $[-1, 0)$ это часть графика $y = -4\arcsin x$, идущая из точки $(-1, 2\pi)$ в точку $(0, 0)$.

б) Постройте график функции $y = \arcsin x + |\arcsin x|$.

Область определения функции $D(y) = [-1, 1]$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\arcsin x \ge 0$, то есть $x \in [0, 1]$, то $|\arcsin x| = \arcsin x$.
Функция принимает вид: $y = \arcsin x + \arcsin x = 2\arcsin x$.

2. Если $\arcsin x < 0$, то есть $x \in [-1, 0)$, то $|\arcsin x| = -\arcsin x$.
Функция принимает вид: $y = \arcsin x + (-\arcsin x) = 0$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной: $ y = \begin{cases} 2 \arcsin x, & \text{если } x \in [0, 1] \\ 0, & \text{если } x \in [-1, 0) \end{cases} $

Для построения графика:

• На промежутке $[-1, 0)$ строим график $y = 0$. Это отрезок оси OX от точки $(-1, 0)$ до $(0, 0)$.
• На промежутке $[0, 1]$ строим график $y = 2\arcsin x$. Это график $y = \arcsin x$, растянутый в 2 раза по вертикали. График идет из точки $(0, 0)$ в точку $(1, \pi)$.

Ответ: График функции состоит из отрезка прямой $y=0$ на промежутке $[-1, 0]$ и ветви кривой $y=2\arcsin x$ на промежутке $[0, 1]$.

в) Постройте график функции $y = |\arcsin x - \frac{\pi}{3}|$.

Построение графика этой функции можно выполнить с помощью последовательных геометрических преобразований графика функции $y = \arcsin x$.

1. Строим график базовой функции $y_1 = \arcsin x$ на отрезке $[-1, 1]$.
2. Сдвигаем график $y_1$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц вниз вдоль оси OY. Получаем график функции $y_2 = \arcsin x - \frac{\pi}{3}$.
3. Применяем операцию взятия модуля: $y = |y_2| = |\arcsin x - \frac{\pi}{3}|$. Это означает, что часть графика $y_2$, которая находится ниже оси OX, нужно симметрично отразить относительно оси OX, а часть, которая выше или на оси, оставить без изменений.

Найдем точку пересечения графика $y_2$ с осью OX: $\arcsin x - \frac{\pi}{3} = 0 \implies \arcsin x = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, на промежутке $[-1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ график $y_2$ лежит ниже оси OX, а на промежутке $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ — выше или на оси.

Ключевые точки итогового графика:

• При $x=-1$: $y = |\arcsin(-1) - \frac{\pi}{3}| = |-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}| = |-\frac{5\pi}{6}| = \frac{5\pi}{6}$. Точка $(-1, \frac{5\pi}{6})$.
• При $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $y = |\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\pi}{3}| = |\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}| = 0$. Точка $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• При $x=1$: $y = |\arcsin(1) - \frac{\pi}{3}| = |\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{6}$. Точка $(1, \frac{\pi}{6})$.

Ответ: График получается из графика $y = \arcsin x$ путем сдвига вниз на $\frac{\pi}{3}$ и последующего отражения отрицательной части (для $x < \frac{\sqrt{3}}{2}$) относительно оси OX. График проходит через точки $(-1, \frac{5\pi}{6})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $(1, \frac{\pi}{6})$.

г) Постройте график функции $y = -\arcsin|x - 2|$.

Сначала найдем область определения функции. Аргумент функции арксинус, $|x-2|$, должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Так как модуль неотрицателен, имеем $0 \le |x - 2| \le 1$. Это неравенство равносильно $-1 \le x - 2 \le 1$, откуда, прибавив 2 ко всем частям, получаем $1 \le x \le 3$. Таким образом, $D(y) = [1, 3]$.

Построим график с помощью последовательных преобразований:

1. Строим график $y_1 = \arcsin x$.
2. Строим график $y_2 = \arcsin|x|$. Для этого часть графика $y_1$ при $x \ge 0$ оставляем, а для $x < 0$ отражаем симметрично правую часть относительно оси OY. График $y_2$ симметричен относительно оси OY на $[-1, 1]$.
3. Строим график $y_3 = \arcsin|x - 2|$. Это график $y_2$, сдвинутый на 2 единицы вправо. "Вершина" графика перемещается из $(0, 0)$ в $(2, 0)$, а область определения становится $[1, 3]$.
4. Строим итоговый график $y = -\arcsin|x - 2|$, отражая график $y_3$ симметрично относительно оси OX.

Найдем координаты ключевых точек:

• Вершина графика: $x = 2 \implies y = -\arcsin|2 - 2| = -\arcsin(0) = 0$. Точка $(2, 0)$.
• Граничные точки:
  • При $x = 1$: $y = -\arcsin|1 - 2| = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(1, -\frac{\pi}{2})$.
  • При $x = 3$: $y = -\arcsin|3 - 2| = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(3, -\frac{\pi}{2})$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, симметричную относительно вертикальной прямой $x=2$ и определенную на отрезке $[1, 3]$. Он начинается в точке $(1, -\frac{\pi}{2})$, поднимается до своей вершины в точке $(2, 0)$ и затем опускается до точки $(3, -\frac{\pi}{2})$.