Страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.12. Постройте график функции:

а) $y = 3 |\arcsin x| - \arcsin x;$

б) $y = \arcsin x + |\arcsin x|;$

в) $y = |\arcsin x - \frac{\pi}{3}|;$

г) $y = -\arcsin |x - 2|.$

а) Постройте график функции $y = 3|\arcsin x| - \arcsin x$.

Область определения функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область определения данной функции $D(y) = [-1, 1]$. Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $\arcsin x$:

1. Если $\arcsin x \ge 0$, что соответствует $x \in [0, 1]$, то $|\arcsin x| = \arcsin x$.
Функция принимает вид: $y = 3\arcsin x - \arcsin x = 2\arcsin x$.

2. Если $\arcsin x < 0$, что соответствует $x \in [-1, 0)$, то $|\arcsin x| = -\arcsin x$.
Функция принимает вид: $y = 3(-\arcsin x) - \arcsin x = -3\arcsin x - \arcsin x = -4\arcsin x$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию: $ y = \begin{cases} 2 \arcsin x, & \text{если } x \in [0, 1] \\ -4 \arcsin x, & \text{если } x \in [-1, 0) \end{cases} $

Для построения графика:

• На промежутке $[0, 1]$ строим график функции $y = 2\arcsin x$. Это график $y = \arcsin x$, растянутый в 2 раза вдоль оси OY. Ключевые точки: $(0, 2\arcsin 0) = (0, 0)$ и $(1, 2\arcsin 1) = (1, 2 \cdot \frac{\pi}{2}) = (1, \pi)$.
• На промежутке $[-1, 0)$ строим график функции $y = -4\arcsin x$. Это график $y = \arcsin x$, растянутый в 4 раза вдоль оси OY и симметрично отраженный относительно оси OX. Ключевые точки: предел при $x \to 0^-$ равен $0$, и $(-1, -4\arcsin(-1)) = (-1, -4 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = (-1, 2\pi)$.

Ответ: График функции состоит из двух кривых, соединяющихся в точке $(0, 0)$. На отрезке $[0, 1]$ это часть графика $y = 2\arcsin x$, идущая из точки $(0, 0)$ в точку $(1, \pi)$. На полуинтервале $[-1, 0)$ это часть графика $y = -4\arcsin x$, идущая из точки $(-1, 2\pi)$ в точку $(0, 0)$.

б) Постройте график функции $y = \arcsin x + |\arcsin x|$.

Область определения функции $D(y) = [-1, 1]$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\arcsin x \ge 0$, то есть $x \in [0, 1]$, то $|\arcsin x| = \arcsin x$.
Функция принимает вид: $y = \arcsin x + \arcsin x = 2\arcsin x$.

2. Если $\arcsin x < 0$, то есть $x \in [-1, 0)$, то $|\arcsin x| = -\arcsin x$.
Функция принимает вид: $y = \arcsin x + (-\arcsin x) = 0$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной: $ y = \begin{cases} 2 \arcsin x, & \text{если } x \in [0, 1] \\ 0, & \text{если } x \in [-1, 0) \end{cases} $

Для построения графика:

• На промежутке $[-1, 0)$ строим график $y = 0$. Это отрезок оси OX от точки $(-1, 0)$ до $(0, 0)$.
• На промежутке $[0, 1]$ строим график $y = 2\arcsin x$. Это график $y = \arcsin x$, растянутый в 2 раза по вертикали. График идет из точки $(0, 0)$ в точку $(1, \pi)$.

Ответ: График функции состоит из отрезка прямой $y=0$ на промежутке $[-1, 0]$ и ветви кривой $y=2\arcsin x$ на промежутке $[0, 1]$.

в) Постройте график функции $y = |\arcsin x - \frac{\pi}{3}|$.

Построение графика этой функции можно выполнить с помощью последовательных геометрических преобразований графика функции $y = \arcsin x$.

1. Строим график базовой функции $y_1 = \arcsin x$ на отрезке $[-1, 1]$.
2. Сдвигаем график $y_1$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц вниз вдоль оси OY. Получаем график функции $y_2 = \arcsin x - \frac{\pi}{3}$.
3. Применяем операцию взятия модуля: $y = |y_2| = |\arcsin x - \frac{\pi}{3}|$. Это означает, что часть графика $y_2$, которая находится ниже оси OX, нужно симметрично отразить относительно оси OX, а часть, которая выше или на оси, оставить без изменений.

Найдем точку пересечения графика $y_2$ с осью OX: $\arcsin x - \frac{\pi}{3} = 0 \implies \arcsin x = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, на промежутке $[-1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ график $y_2$ лежит ниже оси OX, а на промежутке $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ — выше или на оси.

Ключевые точки итогового графика:

• При $x=-1$: $y = |\arcsin(-1) - \frac{\pi}{3}| = |-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}| = |-\frac{5\pi}{6}| = \frac{5\pi}{6}$. Точка $(-1, \frac{5\pi}{6})$.
• При $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $y = |\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\pi}{3}| = |\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}| = 0$. Точка $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• При $x=1$: $y = |\arcsin(1) - \frac{\pi}{3}| = |\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{6}$. Точка $(1, \frac{\pi}{6})$.

Ответ: График получается из графика $y = \arcsin x$ путем сдвига вниз на $\frac{\pi}{3}$ и последующего отражения отрицательной части (для $x < \frac{\sqrt{3}}{2}$) относительно оси OX. График проходит через точки $(-1, \frac{5\pi}{6})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $(1, \frac{\pi}{6})$.

г) Постройте график функции $y = -\arcsin|x - 2|$.

Сначала найдем область определения функции. Аргумент функции арксинус, $|x-2|$, должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Так как модуль неотрицателен, имеем $0 \le |x - 2| \le 1$. Это неравенство равносильно $-1 \le x - 2 \le 1$, откуда, прибавив 2 ко всем частям, получаем $1 \le x \le 3$. Таким образом, $D(y) = [1, 3]$.

Построим график с помощью последовательных преобразований:

1. Строим график $y_1 = \arcsin x$.
2. Строим график $y_2 = \arcsin|x|$. Для этого часть графика $y_1$ при $x \ge 0$ оставляем, а для $x < 0$ отражаем симметрично правую часть относительно оси OY. График $y_2$ симметричен относительно оси OY на $[-1, 1]$.
3. Строим график $y_3 = \arcsin|x - 2|$. Это график $y_2$, сдвинутый на 2 единицы вправо. "Вершина" графика перемещается из $(0, 0)$ в $(2, 0)$, а область определения становится $[1, 3]$.
4. Строим итоговый график $y = -\arcsin|x - 2|$, отражая график $y_3$ симметрично относительно оси OX.

Найдем координаты ключевых точек:

• Вершина графика: $x = 2 \implies y = -\arcsin|2 - 2| = -\arcsin(0) = 0$. Точка $(2, 0)$.
• Граничные точки:
  • При $x = 1$: $y = -\arcsin|1 - 2| = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(1, -\frac{\pi}{2})$.
  • При $x = 3$: $y = -\arcsin|3 - 2| = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(3, -\frac{\pi}{2})$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, симметричную относительно вертикальной прямой $x=2$ и определенную на отрезке $[1, 3]$. Он начинается в точке $(1, -\frac{\pi}{2})$, поднимается до своей вершины в точке $(2, 0)$ и затем опускается до точки $(3, -\frac{\pi}{2})$.

Вычислите:

21.13. a) $\arccos 0$;

б) $\arccos 1$;

в) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\arccos -\frac{1}{2}$.

а) По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) – это такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.
То есть, $\arccos a = \alpha$ равносильно системе: $\begin{cases} \cos \alpha = a \\ 0 \le \alpha \le \pi \end{cases}$.
Для $\arccos 0$ нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 0$.
Известно, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $\frac{\pi}{2}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) Для $\arccos 1$ нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 1$.
Известно, что $\cos 0 = 1$. Так как $0$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos 1 = 0$.
Ответ: $0$

в) Для $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это табличное значение. Известно, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, то $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

г) Для $\arccos(-\frac{1}{2})$ нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.
Воспользуемся свойством арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
Применим его к нашему случаю:
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$
Найдем $\arccos(\frac{1}{2})$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.
Теперь вычислим итоговое значение:
$\pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

21.14. а) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

б) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

в) $\arccos(-1)$;

г) $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$.

а) По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos(a)$) – это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos(\alpha) = a$. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используется формула: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$. В данном случае $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Применим формулу: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Подставляем это значение в выражение: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

б) Используем ту же формулу для арккосинуса отрицательного числа: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$. Здесь $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Получаем: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Выполняем вычитание: $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

в) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -1$. По определению арккосинуса, ищем такой угол. Это табличное значение. Угол, косинус которого равен $-1$, это $\pi$. Этот угол принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Следовательно, $\arccos(-1) = \pi$. Можно также было воспользоваться формулой $\arccos(-1) = \pi - \arccos(1) = \pi - 0 = \pi$.
Ответ: $\pi$.

г) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$. Аргумент арккосинуса положительный, поэтому мы ищем значение прямо по таблице основных тригонометрических углов. Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Поскольку угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

21.15. a) $\arccos(-1) + \arccos 0;$

б) $\arccos \frac{1}{2} - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2};$

в) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2};$

г) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos \frac{1}{2}.$

а) $\arccos(-1) + \arccos 0$

По определению, арккосинус числа $a$ ($\arccos a$) — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

1. Найдём $\arccos(-1)$. Нам нужен угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -1$. Этим углом является $\pi$. Таким образом, $\arccos(-1) = \pi$.

2. Найдём $\arccos 0$. Нам нужен угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.

3. Сложим полученные значения: $\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

б) $\arccos\frac{1}{2} - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Найдём $\arccos\frac{1}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

2. Найдём $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, — это $\frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

3. Выполним вычитание: $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

в) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения этого примера можно воспользоваться свойством арккосинуса: $\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$ для любого $x \in [-1, 1]$.

В нашем случае $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому сумма выражения равна $\pi$.

Также можно решить задачу, вычислив каждое слагаемое по отдельности.

1. Найдём $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $\frac{3\pi}{4}$. Значит, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$.

2. Найдём $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $\frac{\pi}{4}$. Значит, $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

3. Сложим полученные значения: $\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: $\pi$

г) $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos\frac{1}{2}$

1. Найдём $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$. Можно воспользоваться формулой $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$. Мы знаем, что $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

2. Теперь выполним вычитание, используя найденные значения: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos\frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

21.16. a) $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right); $

б) $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arcsin(-1); $

в) $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

г) $ \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $

а) $arccos(-\frac{1}{2}) + arcsin(-\frac{1}{2})$

Для решения этого выражения можно воспользоваться основным тождеством для обратных тригонометрических функций: $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$. Это тождество справедливо для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$.
В данном случае $x = -\frac{1}{2}$, поэтому значение всего выражения равно $\frac{\pi}{2}$.

Также можно вычислить каждое значение по отдельности:
$arccos(-\frac{1}{2})$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. По формуле $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$, получаем: $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$arcsin(-\frac{1}{2})$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{1}{2}$. По свойству нечетности арксинуса $arcsin(-a) = -arcsin(a)$, получаем: $arcsin(-\frac{1}{2}) = -arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Сложим полученные значения: $\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - arcsin(-1)$

Вычислим каждое значение по отдельности.
$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$arcsin(-1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-1$.
$arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
Теперь выполним вычитание: $\frac{3\pi}{4} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$.

в) $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Как и в пункте а), используем тождество $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$.
В данном случае $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что входит в область определения $[-1, 1]$.
Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

Проверка по частям:
$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Сумма: $\frac{5\pi}{6} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Вычислим каждое значение по отдельности.
$arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Теперь выполним вычитание: $\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.