Страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \operatorname{tg} x$ на заданном промежутке:

а) на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2});$

б) на полуинтервале $(\frac{3\pi}{4}; \pi];$

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}];$

г) на полуинтервале $[\pi; \frac{3\pi}{2}).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \tg x$ на заданных промежутках воспользуемся её свойствами. Функция $y = \tg x$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своей области определения, имеющих вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n$ — целое число. Это означает, что на таких интервалах большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

а) на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Данный интервал $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ является одним из интервалов, на котором функция $y = \tg x$ непрерывна и строго возрастает. На границах этого интервала находятся вертикальные асимптоты. При приближении аргумента $x$ к $\frac{\pi}{2}$ справа, значения функции стремятся к $-\infty$, то есть $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tg x = -\infty$. При приближении $x$ к $\frac{3\pi}{2}$ слева, значения функции стремятся к $+\infty$, то есть $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^-} \tg x = +\infty$. Поскольку интервал открытый, а функция на нем не ограничена ни снизу, ни сверху, она не достигает своих наименьшего и наибольшего значений.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

б) на полуинтервале $(\frac{3\pi}{4}; \pi]$

Данный полуинтервал $(\frac{3\pi}{4}; \pi]$ является частью интервала $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ строго возрастает. В силу возрастания, наибольшее значение функция принимает в самой правой точке промежутка, которая включена в него. Это точка $x = \pi$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \tg(\pi) = 0$.
Наименьшее значение функция должна была бы принять в самой левой точке $x = \frac{3\pi}{4}$, но эта точка не включена в промежуток. Значения функции на данном полуинтервале строго больше, чем $\tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Следовательно, наименьшее значение не достигается.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение равно $0$.

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$

Отрезок $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$ является частью интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ строго возрастает. Так как функция непрерывна на замкнутом отрезке, она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений. В силу возрастания, наименьшее значение достигается в левой граничной точке, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \tg(-\frac{\pi}{4}) = - \tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: наименьшее значение равно $-1$, наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) на полуинтервале $[\pi; \frac{3\pi}{2})$

Данный полуинтервал $[\pi; \frac{3\pi}{2})$ является частью интервала $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ строго возрастает. В силу возрастания, наименьшее значение функция принимает в самой левой точке промежутка, которая включена в него. Это точка $x = \pi$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \tg(\pi) = 0$.
Правая граница $x = \frac{3\pi}{2}$ не включена в промежуток, и в этой точке находится вертикальная асимптота. При $x \to \frac{3\pi}{2}^-$, значение $y = \tg x \to +\infty$. Таким образом, функция не ограничена сверху на данном промежутке, и наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $0$, наибольшего значения не существует.

20.2. Решите графически уравнение:

a) $tg x = -\sqrt{3}$;

б) $tg x = 1$;

в) $tg x = -1$;

г) $tg x = 0$.

Для графического решения уравнений вида $tg x = a$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = tg x$ и $y = a$. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

а) Решим графически уравнение $tg x = -\sqrt{3}$.

Для этого построим график функции $y = tg x$ (тангенсоиду) и график функции $y = -\sqrt{3}$.

График функции $y = tg x$ — это периодическая кривая с периодом $T = \pi$. Она имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = -\sqrt{3}$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0; -\sqrt{3})$ на оси ординат (оси Oy).

Данная прямая пересекает каждую ветвь тангенсоиды в одной точке. Найдём абсциссу одной из таких точек пересечения. Это главный корень, который лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение угла, тангенс которого равен $-\sqrt{3}$, есть $x = arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Поскольку функция $y = tg x$ имеет период $\pi$, все остальные решения уравнения можно найти, прибавляя к найденному корню $k\pi$, где $k$ — любое целое число. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим графически уравнение $tg x = 1$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = tg x$ и $y = 1$.

График $y = 1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку $(0; 1)$.

Прямая $y=1$ пересекает график $y=tg x$ в бесконечном множестве точек. Абсцисса точки пересечения, находящейся на главной ветви тангенсоиды (в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$), равна $x = arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность тангенса, все решения уравнения описываются формулой:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим графически уравнение $tg x = -1$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = tg x$ и $y = -1$.

График $y = -1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку $(0; -1)$.

Эта прямая пересекает каждую ветвь тангенсоиды. Найдём абсциссу точки пересечения, лежащей в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Она равна $x = arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

В силу периодичности функции $y = tg x$ с периодом $\pi$, все решения уравнения задаются формулой:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим графически уравнение $tg x = 0$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = tg x$ и $y = 0$.

График функции $y = 0$ — это сама ось абсцисс (ось Ox).

Тангенсоида пересекает ось абсцисс в точках, где $x$ является целым кратным числа $\pi$. Например, в точках $x=0, x=\pi, x=-\pi$ и так далее. Абсцисса точки пересечения на главной ветви равна $x = arctg(0) = 0$.

Все точки пересечения находятся друг от друга на расстоянии, равном периоду функции, то есть $\pi$. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

$x = 0 + \pi n$, или просто $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

20.3. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на чётность, если:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x \sin^2 x;$

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 - 1};$

в) $f(x) = x^5 \operatorname{tg} x;$

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg} x.$

Для исследования функции $y = f(x)$ на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является нечётной.
   Если ни одно из этих равенств не выполняется для всех $x$ из области определения, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

а) $f(x) = \tg x \sin^2 x$

1. Найдём область определения $D(f)$. Функция $\tg x$ определена при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Функция $\sin^2 x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \tg(-x) \sin^2(-x)$

Используем свойства тригонометрических функций: $\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная функция) и $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная функция). Тогда $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$ (чётная функция).

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = (-\tg x) \cdot (\sin^2 x) = -(\tg x \sin^2 x) = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

б) $f(x) = \frac{\tg^2 x}{x^2 - 1}$

1. Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$. Также, из-за наличия $\tg^2 x$, имеем $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \pm 1, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$ симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\tg^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$

Используем свойства функций: $\tg(-x) = -\tg x$, поэтому $\tg^2(-x) = (-\tg x)^2 = \tg^2 x$. Также $(-x)^2 = x^2$. Числитель $y = \tg^2 x$ и знаменатель $y = x^2 - 1$ являются чётными функциями.

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\tg^2 x}{x^2 - 1} = f(x)$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

в) $f(x) = x^5 \tg x$

1. Область определения $D(f)$ такая же, как у функции $\tg x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \tg(-x)$

Функция $y=x^5$ является нечётной, так как $(-x)^5 = -x^5$. Функция $y=\tg x$ также является нечётной, $\tg(-x) = -\tg x$.

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = (-x^5) \cdot (-\tg x) = x^5 \tg x = f(x)$

Произведение двух нечётных функций является чётной функцией. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \tg x$

1. Область определения $D(f)$ определяется функцией $\tg x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + \sin(-x) + \tg(-x)$

Используем свойства чётности и нечётности слагаемых:
$(-x)^2 = x^2$ (чётная функция).
$\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная функция).
$\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная функция).

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = x^2 - \sin x - \tg x$

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

$f(x) = x^2 + \sin x + \tg x$

$-f(x) = -(x^2 + \sin x + \tg x) = -x^2 - \sin x - \tg x$

Видно, что равенства $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения. Например, при $x = \frac{\pi}{4}$:

$f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^2 + \sin(\frac{\pi}{4}) + \tg(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

$f(-\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\pi}{4})^2 + \sin(-\frac{\pi}{4}) + \tg(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$

Очевидно, что $f(-\frac{\pi}{4}) \neq f(\frac{\pi}{4})$ и $f(-\frac{\pi}{4}) \neq -f(\frac{\pi}{4})$.

Функция представляет собой сумму чётной функции ($x^2$) и нечётной функции ($\sin x + \tg x$), поэтому она не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная функция.

20.4. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \text{tg} x$. Докажите, что:

а) $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$;

б) $f(\pi - x) + f(5\pi + x) = 0$.

а) Необходимо доказать, что $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$, где $f(x) = \tg x$.
Для этого подставим определение функции в левую часть доказываемого равенства:
$f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = \tg(2x + 2\pi) + \tg(7\pi - 2x)$.
Теперь воспользуемся свойствами тригонометрической функции тангенс:
1. Функция $y = \tg x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\tg(z + k\pi) = \tg z$.
Применим это свойство к каждому слагаемому в нашем выражении:
Для первого слагаемого: $\tg(2x + 2\pi) = \tg(2x)$, так как $k=2$.
Для второго слагаемого: $\tg(7\pi - 2x) = \tg(-2x + 7\pi) = \tg(-2x)$, так как $k=7$.
2. Функция $y = \tg x$ является нечетной. Это означает, что для любого $z$ из области определения выполняется равенство $\tg(-z) = -\tg z$.
Применим это свойство ко второму слагаемому в его упрощенном виде:
$\tg(-2x) = -\tg(2x)$.
Теперь соберем все вместе, подставив упрощенные выражения в исходную сумму:
$\tg(2x + 2\pi) + \tg(7\pi - 2x) = \tg(2x) + (-\tg(2x)) = \tg(2x) - \tg(2x) = 0$.
Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$ доказано.

б) Необходимо доказать, что $f(\pi - x) + f(5\pi + x) = 0$.
Аналогично пункту а), подставим определение функции $f(x) = \tg x$ в левую часть равенства:
$f(\pi - x) + f(5\pi + x) = \tg(\pi - x) + \tg(5\pi + x)$.
Упростим каждое слагаемое, используя свойства тангенса.
Для первого слагаемого воспользуемся формулой приведения $\tg(\pi - z) = -\tg z$:
$\tg(\pi - x) = -\tg x$.
Для второго слагаемого воспользуемся свойством периодичности $\tg(z + k\pi) = \tg z$:
$\tg(5\pi + x) = \tg(x + 5\pi) = \tg x$, так как $k=5$.
Теперь подставим упрощенные выражения в исходную сумму:
$\tg(\pi - x) + \tg(5\pi + x) = -\tg x + \tg x = 0$.
Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $f(\pi - x) + f(5\pi + x) = 0$ доказано.

20.5. Найдите основной период функции:

а) $y = \operatorname{tg} 2x;$

б) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3};$

в) $y = \operatorname{tg} 5x;$

г) $y = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}.$

Основной (наименьший положительный) период функции тангенса $y = \tg x$ равен $T_0 = \pi$. Для функции вида $y = \tg(kx+b)$, где $k$ - числовой коэффициент при $x$, основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|k|}$.

а) $y = \tg 2x$

В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = 2$.
Следовательно, основной период $T$ этой функции равен:
$T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $y = \tg \frac{x}{3}$

Эту функцию можно представить в виде $y = \tg(\frac{1}{3}x)$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{3}$.
Основной период $T$ этой функции равен:
$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{3}} = 3\pi$.
Ответ: $3\pi$.

в) $y = \tg 5x$

В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = 5$.
Основной период $T$ этой функции равен:
$T = \frac{\pi}{|5|} = \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\frac{\pi}{5}$.

г) $y = \tg \frac{2x}{5}$

Эту функцию можно представить в виде $y = \tg(\frac{2}{5}x)$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{2}{5}$.
Основной период $T$ этой функции равен:
$T = \frac{\pi}{|\frac{2}{5}|} = \frac{\pi}{\frac{2}{5}} = \frac{5\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{2}$.

20.6. Определите знак разности:

а) $tg 200^{\circ} - tg 201^{\circ}$;

б) $tg 1 - tg 1,01$;

в) $tg 2,2 - tg 2,1$;

г) $tg \frac{3\pi}{5} - tg \frac{6\pi}{5}$.

а) Для определения знака разности $\tg 200^\circ - \tg 201^\circ$ воспользуемся свойством монотонности функции тангенса. Функция $y = \tg x$ является периодической с периодом $180^\circ$ и возрастает на каждом из интервалов вида $( -90^\circ + 180^\circ k, 90^\circ + 180^\circ k )$, где $k$ — целое число. Рассмотрим интервал при $k=1$: $( 90^\circ, 270^\circ )$. Оба угла, $200^\circ$ и $201^\circ$, принадлежат этому интервалу, так как $90^\circ < 200^\circ < 201^\circ < 270^\circ$. Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает на данном интервале и $200^\circ < 201^\circ$, то справедливо неравенство $\tg 200^\circ < \tg 201^\circ$. Следовательно, разность $\tg 200^\circ - \tg 201^\circ$ отрицательна.
Ответ: знак минус (отрицательный).

б) Рассмотрим разность $\tg 1 - \tg 1,01$. Аргументы функции тангенса здесь даны в радианах. Область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Функция возрастает на каждом интервале определения. Один из таких интервалов — $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Оба аргумента, 1 и 1,01, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, так как $-1,57 < 1 < 1,01 < 1,57$. Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает на этом интервале и $1 < 1,01$, то $\tg 1 < \tg 1,01$. Таким образом, разность $\tg 1 - \tg 1,01$ отрицательна.
Ответ: знак минус (отрицательный).

в) Рассмотрим разность $\tg 2,2 - \tg 2,1$. Аргументы даны в радианах. Найдем интервал монотонности, содержащий оба аргумента. Рассмотрим интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Используя приближенные значения $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, видим, что оба аргумента, 2,1 и 2,2, принадлежат этому интервалу, так как $1,57 < 2,1 < 2,2 < 4,71$. Функция $y = \tg x$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Так как $2,1 < 2,2$, из свойства возрастающей функции следует, что $\tg 2,1 < \tg 2,2$. Следовательно, разность $\tg 2,2 - \tg 2,1$ положительна.
Ответ: знак плюс (положительный).

г) Рассмотрим разность $\tg \frac{3\pi}{5} - \tg \frac{6\pi}{5}$. Определим, к какому интервалу возрастания функции тангенса принадлежат аргументы. Рассмотрим интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Сравним аргументы с границами интервала: $\frac{\pi}{2} = \frac{2,5\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{7,5\pi}{5}$. Первый аргумент: $\frac{3\pi}{5}$. Очевидно, что $\frac{2,5\pi}{5} < \frac{3\pi}{5} < \frac{7,5\pi}{5}$, значит $\frac{3\pi}{5} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Второй аргумент: $\frac{6\pi}{5}$. Очевидно, что $\frac{2,5\pi}{5} < \frac{6\pi}{5} < \frac{7,5\pi}{5}$, значит $\frac{6\pi}{5} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Оба аргумента находятся в одном и том же интервале возрастания функции $y = \tg x$. Сравним аргументы между собой: $\frac{3\pi}{5} < \frac{6\pi}{5}$. Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, то $\tg \frac{3\pi}{5} < \tg \frac{6\pi}{5}$. Следовательно, разность $\tg \frac{3\pi}{5} - \tg \frac{6\pi}{5}$ отрицательна.
Ответ: знак минус (отрицательный).

20.7. Постройте график функции:

а) $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right);$

б) $y = \text{tg}x + 1;$

в) $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

г) $y = \text{tg}x - 2.$

а) Чтобы построить график функции $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{2})$, нужно выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{tg} x$. В данном случае это преобразование вида $y = f(x+a)$, что соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц влево.

Таким образом, для построения графика $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{2})$, необходимо сдвинуть график $y = \text{tg} x$ влево на $\frac{\pi}{2}$.

1. Исходный график $y = \text{tg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. При сдвиге влево на $\frac{\pi}{2}$, новые асимптоты будут находиться в точках $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - \frac{\pi}{2} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Нули функции $y = \text{tg} x$ находятся в точках $x = \pi k$. При сдвиге влево на $\frac{\pi}{2}$ они переместятся в точки $x = \pi k - \frac{\pi}{2}$.

Стоит отметить, что по формуле приведения $\text{tg}(x + \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg} x$. Таким образом, искомый график является графиком функции $y = -\text{ctg} x$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{2})$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{tg} x$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{2}$ единиц.

б) Чтобы построить график функции $y = \text{tg} x + 1$, нужно выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{tg} x$. В данном случае это преобразование вида $y = f(x)+b$, что соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $f(x)$ вдоль оси ординат (Oy) на $b$ единиц.

Таким образом, для построения графика $y = \text{tg} x + 1$, необходимо сдвинуть график $y = \text{tg} x$ вверх на 1 единицу.

1. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) не изменяются, так как сдвиг происходит только по вертикали.
2. Каждая точка графика $y = \text{tg} x$ смещается на 1 единицу вверх. Например, точки перегиба, которые были на оси Ox в точках $(\pi k, 0)$, теперь будут находиться в точках $(\pi k, 1)$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, 2)$.
3. Новые нули функции находятся из уравнения $\text{tg} x + 1 = 0 \implies \text{tg} x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg} x + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{tg} x$ вверх вдоль оси Oy на 1 единицу.

в) Чтобы построить график функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$, нужно выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{tg} x$. В данном случае это преобразование вида $y = f(x-a)$, что соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц вправо.

Таким образом, для построения графика $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$, необходимо сдвинуть график $y = \text{tg} x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.

1. Исходный график $y = \text{tg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. При сдвиге вправо на $\frac{\pi}{4}$, новые асимптоты будут находиться в точках $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Нули функции $y = \text{tg} x$ находятся в точках $x = \pi k$. При сдвиге вправо на $\frac{\pi}{4}$ они переместятся в точки $x = \pi k + \frac{\pi}{4}$. Эти точки также будут новыми точками перегиба.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{tg} x$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

г) Чтобы построить график функции $y = \text{tg} x - 2$, нужно выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{tg} x$. В данном случае это преобразование вида $y = f(x)-b$, что соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $f(x)$ вдоль оси ординат (Oy) на $b$ единиц вниз.

Таким образом, для построения графика $y = \text{tg} x - 2$, необходимо сдвинуть график $y = \text{tg} x$ вниз на 2 единицы.

1. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) не изменяются, так как сдвиг происходит только по вертикали.
2. Каждая точка графика $y = \text{tg} x$ смещается на 2 единицы вниз. Например, точки перегиба, которые были на оси Ox в точках $(\pi k, 0)$, теперь будут находиться в точках $(\pi k, -2)$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, -1)$.
3. Новые нули функции находятся из уравнения $\text{tg} x - 2 = 0 \implies \text{tg} x = 2$, откуда $x = \text{arctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg} x - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{tg} x$ вниз вдоль оси Oy на 2 единицы.