Номер 20.2, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.2. Решите графически уравнение:

a) $tg x = -\sqrt{3}$;

б) $tg x = 1$;

в) $tg x = -1$;

г) $tg x = 0$.

Для графического решения уравнений вида $tg x = a$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = tg x$ и $y = a$. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

а) Решим графически уравнение $tg x = -\sqrt{3}$.

Для этого построим график функции $y = tg x$ (тангенсоиду) и график функции $y = -\sqrt{3}$.

График функции $y = tg x$ — это периодическая кривая с периодом $T = \pi$. Она имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = -\sqrt{3}$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0; -\sqrt{3})$ на оси ординат (оси Oy).

Данная прямая пересекает каждую ветвь тангенсоиды в одной точке. Найдём абсциссу одной из таких точек пересечения. Это главный корень, который лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение угла, тангенс которого равен $-\sqrt{3}$, есть $x = arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Поскольку функция $y = tg x$ имеет период $\pi$, все остальные решения уравнения можно найти, прибавляя к найденному корню $k\pi$, где $k$ — любое целое число. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим графически уравнение $tg x = 1$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = tg x$ и $y = 1$.

График $y = 1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку $(0; 1)$.

Прямая $y=1$ пересекает график $y=tg x$ в бесконечном множестве точек. Абсцисса точки пересечения, находящейся на главной ветви тангенсоиды (в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$), равна $x = arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность тангенса, все решения уравнения описываются формулой:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим графически уравнение $tg x = -1$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = tg x$ и $y = -1$.

График $y = -1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку $(0; -1)$.

Эта прямая пересекает каждую ветвь тангенсоиды. Найдём абсциссу точки пересечения, лежащей в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Она равна $x = arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

В силу периодичности функции $y = tg x$ с периодом $\pi$, все решения уравнения задаются формулой:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим графически уравнение $tg x = 0$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = tg x$ и $y = 0$.

График функции $y = 0$ — это сама ось абсцисс (ось Ox).

Тангенсоида пересекает ось абсцисс в точках, где $x$ является целым кратным числа $\pi$. Например, в точках $x=0, x=\pi, x=-\pi$ и так далее. Абсцисса точки пересечения на главной ветви равна $x = arctg(0) = 0$.

Все точки пересечения находятся друг от друга на расстоянии, равном периоду функции, то есть $\pi$. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

$x = 0 + \pi n$, или просто $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.