Номер 19.11, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.11. Исследуйте функцию $y = 3 \cos \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$ на монотонность

на заданном промежутке:

а) $\left[0; \frac{2\pi}{3}\right]$;

б) $(1; 2)$;

в) $\left[-\frac{7\pi}{12}; 0\right]$;

г) $(-1; 1)$.

Для исследования функции $y = 3\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$ на монотонность найдем ее производную. Производная функции определяет скорость ее изменения, а знак производной указывает на направление изменения (возрастание или убывание).

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$y' = \left(3\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)\right)' = 3 \cdot \left(-\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)\right) \cdot \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)' = -6\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Интервалы монотонности определяются знаком производной. Функция возрастает, когда $y' > 0$, и убывает, когда $y' < 0$.

1. Найдем интервалы возрастания ($y' > 0$):

$-6\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) > 0 \implies \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2\pi n < 2x + \frac{2\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n$

$\pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x < 2\pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

Итак, функция возрастает на интервалах вида $\left(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n\right)$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем интервалы убывания ($y' < 0$):

$-6\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) < 0 \implies \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2\pi n < 2x + \frac{2\pi}{3} < \pi + 2\pi n$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Итак, функция убывает на интервалах вида $\left(-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n\right)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Точки, в которых производная равна нулю ($y'=0$), являются критическими точками (точками возможных экстремумов), где характер монотонности может меняться. Это точки $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$ и $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Теперь исследуем функцию на заданных промежутках.

а) Исследуем промежуток $[0; \frac{2\pi}{3}]$.

При $n=0$ функция убывает на интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$ и возрастает на интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$. Критическая точка $x = \frac{\pi}{6}$ разделяет эти два интервала. Проверим, принадлежит ли эта точка заданному промежутку: $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{2\pi}{3}$. Да, принадлежит. Следовательно, промежуток $[0; \frac{2\pi}{3}]$ содержит участки с разным характером монотонности. На отрезке $[0; \frac{\pi}{6}]$, который является частью интервала убывания, функция убывает. На отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$, который является частью интервала возрастания, функция возрастает. Таким образом, на всем промежутке $[0; \frac{2\pi}{3}]$ функция не является монотонной.

Ответ: функция убывает на отрезке $[0; \frac{\pi}{6}]$ и возрастает на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$.

б) Исследуем промежуток $(1; 2)$.

Сравним этот промежуток с найденными интервалами монотонности. Воспользуемся приближенными значениями: $\pi \approx 3.14$. Интервал возрастания при $n=0$: $(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}) \approx (\frac{3.14}{6}, \frac{2 \cdot 3.14}{3}) \approx (0.52, 2.09)$. Заданный промежуток $(1; 2)$ целиком содержится в этом интервале возрастания, так как $0.52 < 1$ и $2 < 2.09$. Значит, на всем промежутке $(1; 2)$ производная $y'$ сохраняет положительный знак.

Ответ: функция возрастает.

в) Исследуем промежуток $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$.

Найдем критические точки, которые могут лежать в этом промежутке. Интервал убывания при $n=0$: $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$. Интервал возрастания при $n=-1$: $(\frac{\pi}{6} - \pi, \frac{2\pi}{3} - \pi) = (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{3})$. Критическая точка $x = -\frac{\pi}{3}$ разделяет эти интервалы. Сравним ее с границами заданного промежутка: $-\frac{7\pi}{12} = -0.583...\pi$, а $-\frac{\pi}{3} \approx -0.333...\pi$. Так как $-\frac{7\pi}{12} < -\frac{\pi}{3} < 0$, критическая точка находится внутри промежутка $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$. На отрезке $[-\frac{7\pi}{12}; -\frac{\pi}{3}]$ функция возрастает. На отрезке $[-\frac{\pi}{3}; 0]$ функция убывает. Таким образом, на всем промежутке $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$ функция не является монотонной.

Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\frac{7\pi}{12}; -\frac{\pi}{3}]$ и убывает на отрезке $[-\frac{\pi}{3}; 0]$.

г) Исследуем промежуток $(-1; 1)$.

Найдем критические точки, которые могут лежать в этом промежутке. Критическая точка $x = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$ принадлежит интервалу $(-1; 1)$. Другая ближайшая критическая точка $x = -\frac{\pi}{3} \approx -1.047$ не принадлежит этому интервалу. Поскольку внутри промежутка $(-1; 1)$ есть критическая точка $x = \frac{\pi}{6}$, функция меняет на нем характер монотонности. На промежутке $(-1; \frac{\pi}{6}]$, который является частью интервала убывания $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$, функция убывает. На промежутке $[\frac{\pi}{6}; 1)$, который является частью интервала возрастания $(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$, функция возрастает. Таким образом, на всем промежутке $(-1; 1)$ функция не является монотонной.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-1; \frac{\pi}{6}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{\pi}{6}; 1)$.