Номер 19.10, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.10. Исследуйте функцию $y = -1,5 \sin \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $[0; 2\pi];$

б) $(2; 4);$

в) $\left[-\frac{4\pi}{3}; 0\right];$

г) $(-1; 2).$

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Производная функции $y = -1,5 \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = \left(-1,5 \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = -1,5 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)'$

$y' = -1,5 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{2} = -0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

Монотонность функции зависит от знака ее производной. Найдем точки, в которых производная равна нулю (критические точки):

$-0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 0$

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 0$

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эти точки являются точками экстремумов и разделяют числовую ось на промежутки монотонности.

а) Исследуем промежуток $[0; 2\pi]$.

Найдем критические точки, принадлежащие этому промежутку. Подставляя целые значения $n$ в формулу $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$:

При $n=0$, $x = \frac{3\pi}{2}$. Эта точка принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.

При $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2}$, что больше $2\pi$.

При $n=-1$, $x = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$, что меньше $0$.

Таким образом, на промежутке $[0; 2\pi]$ есть одна критическая точка $x = \frac{3\pi}{2}$. Она делит его на два промежутка: $[0; \frac{3\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

Определим знак производной на каждом из них:

1. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ возьмем пробную точку $x=\pi$.

$y'(\pi) = -0,75 \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Значит, функция убывает.

2. На промежутке $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$ возьмем пробную точку $x=\frac{7\pi}{4}$.

$y'\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{7\pi}{8} - \frac{2\pi}{8}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{8} < \pi$, то $\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) < 0$. Следовательно, $y'\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot (\text{отрицательное число}) > 0$. Значит, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

б) Исследуем промежуток $(2; 4)$.

Критические точки функции: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Приближенное значение $x$ при $n=0$ равно $\frac{3 \cdot 3,14}{2} \approx 4,71$. При $n=-1$ значение $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$.

Ни одна из критических точек не попадает в промежуток $(2; 4)$. Это означает, что на всем этом промежутке функция монотонна.

Определим знак производной в любой точке этого промежутка, например, при $x=3$.

$y'(3) = -0,75 \cos\left(\frac{3}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \approx -0,75 \cos(1,5 - 0,785) = -0,75 \cos(0,715)$.

Угол $0,715$ радиан находится в первой четверти ($0 < 0,715 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$), где косинус положителен. Таким образом, $y'(3) < 0$.

Следовательно, функция убывает на всем промежутке $(2; 4)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(2; 4)$.

в) Исследуем промежуток $[-\frac{4\pi}{3}; 0]$.

Приближенное значение промежутка: $[-\frac{4 \cdot 3,14}{3}; 0] \approx [-4,19; 0]$.

Найдем критические точки, попадающие в этот промежуток: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

При $n=-1$, $x = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$. Эта точка принадлежит промежутку $[-\frac{4\pi}{3}; 0]$.

Точка $x = -\frac{\pi}{2}$ делит промежуток $[-\frac{4\pi}{3}; 0]$ на два: $[-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}]$ и $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

Определим знак производной на каждом из них:

1. На промежутке $[-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}]$ возьмем пробную точку $x=-\pi \approx -3,14$.

$y'(-\pi) = -0,75 \cos\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) > 0$. Значит, функция возрастает.

2. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ возьмем пробную точку $x=0$, так как она является концом промежутка.

$y'(0) = -0,75 \cos\left(0 - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Значит, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}]$ и убывает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

г) Исследуем промежуток $(-1; 2)$.

Ближайшие к этому промежутку критические точки $x \approx -1,57$ и $x \approx 4,71$ не входят в него. Следовательно, на всем промежутке $(-1; 2)$ функция монотонна.

Для определения характера монотонности найдем знак производной в точке $x=0$, которая принадлежит этому промежутку.

$y'(0) = -0,75 \cos\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -0,75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$.

Поскольку производная отрицательна, функция убывает на всем промежутке $(-1; 2)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-1; 2)$.