Номер 19.4, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.4. a) $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right).$

а) $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$

Для подробного анализа данной функции определим ее основные свойства: область определения, область значений, период и фазовый сдвиг. Функция имеет вид $y = A\sin(kx + \phi)$, где амплитуда $A = \frac{1}{2}$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$, и начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{6}$.

• Область определения. Аргумент функции синус, $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$, является линейной функцией, которая определена для всех действительных значений $x$. Сама функция синус также определена для любого действительного аргумента. Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений. Стандартная функция $\sin(t)$ принимает значения в пределах отрезка $[-1, 1]$. Для нашей функции это неравенство выглядит так: $-1 \le \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$. Умножив все части неравенства на амплитуду $A = \frac{1}{2}$, получаем:
  $\frac{1}{2} \cdot (-1) \le \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \le \frac{1}{2} \cdot 1$
  $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$
  Таким образом, область значений функции — это отрезок $E(y) = \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$.
• Период. Период тригонометрических функций вида $y = A\sin(kx + \phi)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $2\pi$ — это основной период функции $\sin(x)$. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$.
  $T = \frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
  Основной период функции равен $4\pi$.
• Фазовый сдвиг. Чтобы определить фазовый сдвиг, преобразуем аргумент функции к виду $k(x - x_0)$:
  $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi/6}{1/2}\right) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
  Фазовый сдвиг $x_0 = -\frac{\pi}{3}$. Это означает, что график функции $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2}x\right)$ сдвинут вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ влево.

Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$, основной период $T = 4\pi$.

б) $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$

Проведем подробный анализ данной функции. Она имеет вид $y = A\cos(kx + \phi)$, где коэффициент $A = -\frac{3}{2}$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$, и начальная фаза $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

• Область определения. Аргумент функции косинус, $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}$, определен для всех действительных значений $x$. Сама функция косинус также определена для любого действительного аргумента. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений. Стандартная функция $\cos(t)$ принимает значения в пределах отрезка $[-1, 1]$. Амплитуда функции равна $|A| = \left|-\frac{3}{2}\right| = \frac{3}{2}$. Знак "минус" перед коэффициентом $A$ означает отражение графика относительно оси Ox, но не влияет на диапазон значений.
  $-1 \le \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$.
  Умножим все части на $-\frac{3}{2}$, меняя знаки неравенства:
  $-\frac{3}{2} \cdot (-1) \ge -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \ge -\frac{3}{2} \cdot 1$
  $\frac{3}{2} \ge y \ge -\frac{3}{2}$
  Таким образом, область значений функции — это отрезок $E(y) = \left[-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right]$.
• Период. Период функции $y = A\cos(kx + \phi)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$.
  $T = \frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
  Основной период функции равен $4\pi$.
• Фазовый сдвиг. Преобразуем аргумент функции к виду $k(x - x_0)$:
  $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi/3}{1/2}\right) = \frac{1}{2}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$.
  Фазовый сдвиг $x_0 = \frac{2\pi}{3}$. Это означает, что график функции $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{1}{2}x\right)$ сдвинут вдоль оси абсцисс на $\frac{2\pi}{3}$ вправо.

Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = \left[-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right]$, основной период $T = 4\pi$.