Номер 18.15, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

18.15. а) $y = \sin \pi x$;

б) $y = -2 \cos \frac{\pi x}{2}$;

в) $y = -2 \sin \frac{2\pi x}{3}$;

г) $y = 3 \cos \frac{3\pi x}{4}$.

Для построения графиков данных тригонометрических функций мы будем использовать метод преобразований графика базовой функции ($y = \sin x$ или $y = \cos x$). Общий вид функции $y = A f(kx+b) + c$, где $f$ - это синус или косинус.

• $|A|$ - амплитуда (растяжение/сжатие по вертикали). Если $A < 0$, происходит отражение относительно оси Ox.
• $T = \frac{2\pi}{|k|}$ - период функции (растяжение/сжатие по горизонтали).

Разберем каждую функцию по отдельности.

а) $y = \sin \pi x$

1. Анализ функции. Это функция вида $y = A \sin(kx)$ с амплитудой $A=1$ и коэффициентом $k = \pi$.
2. Амплитуда. Амплитуда равна $|1| = 1$. Это означает, что значения функции лежат в диапазоне $[-1, 1]$.
3. Период. Период функции вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
4. Построение. График этой функции получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в $\pi$ раз. Стандартный период $2\pi$ сжимается до 2.
5. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2]$:

• При $x=0$, $y = \sin(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=0.5$, $y = \sin(\pi \cdot 0.5) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Точка $(0.5, 1)$ - максимум.
• При $x=1$, $y = \sin(\pi) = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=1.5$, $y = \sin(\pi \cdot 1.5) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Точка $(1.5, -1)$ - минимум.
• При $x=2$, $y = \sin(2\pi) = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построив эти точки и соединив их плавной линией (синусоидой), мы получим график функции на одном периоде. Затем этот узор можно периодически повторять влево и вправо.

Ответ: График функции $y = \sin \pi x$ — это синусоида с амплитудой 1 и периодом 2. Она проходит через начало координат, достигает максимума в точке $(0.5, 1)$ и минимума в точке $(1.5, -1)$.

б) $y = -2 \cos \frac{\pi x}{2}$

1. Анализ функции. Это функция вида $y = A \cos(kx)$ с амплитудой $A=-2$ и коэффициентом $k = \frac{\pi}{2}$.
2. Амплитуда и отражение. Амплитуда равна $|-2| = 2$. Значения функции лежат в диапазоне $[-2, 2]$. Знак "минус" перед двойкой означает, что график будет отражен относительно оси Ox.
3. Период. Период функции: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$.
4. Построение. График получается из $y = \cos x$ следующими преобразованиями:

• Сжатие по горизонтали в $\frac{\pi}{2}$ раз (период становится 4).
• Растяжение по вертикали в 2 раза (амплитуда становится 2).
• Отражение относительно оси Ox.

5. Ключевые точки на одном периоде $[0, 4]$:

• При $x=0$, $y = -2\cos(0) = -2 \cdot 1 = -2$. Точка $(0, -2)$ - минимум.
• При $x=1$, $y = -2\cos(\frac{\pi \cdot 1}{2}) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=2$, $y = -2\cos(\frac{\pi \cdot 2}{2}) = -2\cos(\pi) = -2 \cdot (-1) = 2$. Точка $(2, 2)$ - максимум.
• При $x=3$, $y = -2\cos(\frac{\pi \cdot 3}{2}) = -2\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Точка $(3, 0)$.
• При $x=4$, $y = -2\cos(\frac{\pi \cdot 4}{2}) = -2\cos(2\pi) = -2$. Точка $(4, -2)$ - минимум.

Соединяем эти точки плавной кривой (косинусоидой).

Ответ: График функции $y = -2 \cos \frac{\pi x}{2}$ — это отраженная косинусоида с амплитудой 2 и периодом 4. Она имеет минимум в точке $(0, -2)$ и максимум в точке $(2, 2)$.

в) $y = -2 \sin \frac{2\pi x}{3}$

1. Анализ функции. Это функция вида $y = A \sin(kx)$ с $A=-2$ и $k = \frac{2\pi}{3}$.
2. Амплитуда и отражение. Амплитуда равна $|-2|=2$. Диапазон значений: $[-2, 2]$. График отражен относительно оси Ox.
3. Период. $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2\pi/3} = 3$.
4. Построение. График получается из $y = \sin x$ преобразованиями:

• Сжатие по горизонтали в $\frac{2\pi}{3}$ раз (период становится 3).
• Растяжение по вертикали в 2 раза (амплитуда становится 2).
• Отражение относительно оси Ox.

5. Ключевые точки на одном периоде $[0, 3]$:

• При $x=0$, $y = -2\sin(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=\frac{3}{4}=0.75$, $y = -2\sin(\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{3}{4}) = -2\sin(\frac{\pi}{2}) = -2$. Точка $(0.75, -2)$ - минимум.
• При $x=\frac{3}{2}=1.5$, $y = -2\sin(\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{3}{2}) = -2\sin(\pi) = 0$. Точка $(1.5, 0)$.
• При $x=\frac{9}{4}=2.25$, $y = -2\sin(\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{9}{4}) = -2\sin(\frac{3\pi}{2}) = 2$. Точка $(2.25, 2)$ - максимум.
• При $x=3$, $y = -2\sin(\frac{2\pi}{3}\cdot 3) = -2\sin(2\pi) = 0$. Точка $(3, 0)$.

Ответ: График функции $y = -2 \sin \frac{2\pi x}{3}$ — это отраженная синусоида с амплитудой 2 и периодом 3. Она проходит через начало координат, убывая, достигает минимума в точке $(0.75, -2)$ и максимума в точке $(2.25, 2)$.

г) $y = 3 \cos \frac{3\pi x}{4}$

1. Анализ функции. Это функция вида $y = A \cos(kx)$ с $A=3$ и $k = \frac{3\pi}{4}$.
2. Амплитуда. Амплитуда равна $|3|=3$. Диапазон значений: $[-3, 3]$. Отражения нет.
3. Период. $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3\pi/4} = \frac{8}{3}$.
4. Построение. График получается из $y = \cos x$ преобразованиями:

• Сжатие по горизонтали в $\frac{3\pi}{4}$ раз (период становится $\frac{8}{3}$).
• Растяжение по вертикали в 3 раза (амплитуда становится 3).

5. Ключевые точки на одном периоде $[0, \frac{8}{3}]$:

• При $x=0$, $y = 3\cos(0) = 3$. Точка $(0, 3)$ - максимум.
• При $x=\frac{2}{3}$, $y = 3\cos(\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{2}{3}) = 3\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{2}{3}, 0)$.
• При $x=\frac{4}{3}$, $y = 3\cos(\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{4}{3}) = 3\cos(\pi) = -3$. Точка $(\frac{4}{3}, -3)$ - минимум.
• При $x=2$, $y = 3\cos(\frac{3\pi}{4}\cdot 2) = 3\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Точка $(2, 0)$.
• При $x=\frac{8}{3}$, $y = 3\cos(\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{8}{3}) = 3\cos(2\pi) = 3$. Точка $(\frac{8}{3}, 3)$ - максимум.

Ответ: График функции $y = 3 \cos \frac{3\pi x}{4}$ — это косинусоида с амплитудой 3 и периодом $\frac{8}{3}$. Она имеет максимум в точке $(0, 3)$ и минимум в точке $(\frac{4}{3}, -3)$.