Номер 18.9, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.9. a) $y = \begin{cases} -2 \sin x, \text{ если } x < 0, \\ \sqrt{2x}, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sqrt{-x}, \text{ если } x \le 0, \\ 3 \cos x - 3, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

а) Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} -2 \sin x, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{2x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Исследуем функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке $x=0$, где меняется ее аналитическое выражение.

1. Непрерывность в точке $x=0$.

Функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. То есть, $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0)$.

Найдем значение функции в точке $x=0$. Согласно определению, при $x \ge 0$ используется формула $y = \sqrt{2x}$.
$y(0) = \sqrt{2 \cdot 0} = 0$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$, используется формула $y = -2 \sin x$):
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(0) = 0$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 0^+$, используется формула $y = \sqrt{2x}$):
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{2x} = \sqrt{2 \cdot 0} = 0$.

Так как левосторонний предел равен правостороннему пределу и равен значению функции в точке ($0=0=0$), функция является непрерывной в точке $x=0$. На остальных участках области определения функция также непрерывна, так как задана элементарными функциями.

2. Дифференцируемость в точке $x=0$.

Функция дифференцируема в точке, если в этой точке существуют равные друг другу левосторонняя и правосторонняя производные.

Найдем производные для каждой части функции.
Для $x < 0$: $y'(x) = (-2 \sin x)' = -2 \cos x$.
Для $x > 0$: $y'(x) = (\sqrt{2x})' = ((2x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Теперь найдем односторонние производные в точке $x=0$.
Левосторонняя производная:
$y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} (-2 \cos x) = -2 \cos(0) = -2 \cdot 1 = -2$.

Правосторонняя производная:
$y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{2x}}$.
При $x \to 0^+$, знаменатель $\sqrt{2x}$ стремится к 0, оставаясь положительным, поэтому предел равен $+\infty$.

Так как левосторонняя производная $y'_{-}(0) = -2$, а правосторонняя производная $y'_{+}(0) = +\infty$, они не равны. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, но не дифференцируема в точке $x=0$.

б) Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} \sqrt{-x}, & \text{если } x \le 0 \\ 3 \cos x - 3, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

Исследуем функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке $x=0$.

1. Непрерывность в точке $x=0$.

Проверим выполнение условия $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0)$.

Найдем значение функции в точке $x=0$. Согласно определению, при $x \le 0$ используется формула $y = \sqrt{-x}$.
$y(0) = \sqrt{-0} = 0$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$, используется формула $y = \sqrt{-x}$):
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \sqrt{-x} = \sqrt{-0} = 0$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 0^+$, используется формула $y = 3 \cos x - 3$):
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (3 \cos x - 3) = 3 \cos(0) - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.

Так как $y(0) = 0$, $\lim_{x \to 0^-} y(x) = 0$ и $\lim_{x \to 0^+} y(x) = 0$, все три значения равны. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=0$ и на всей области определения.

2. Дифференцируемость в точке $x=0$.

Найдем производные для каждой части функции.
Для $x < 0$: $y'(x) = (\sqrt{-x})' = ((-x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(-x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$.
Для $x > 0$: $y'(x) = (3 \cos x - 3)' = -3 \sin x$.

Теперь найдем односторонние производные в точке $x=0$.
Левосторонняя производная:
$y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} \left(-\frac{1}{2\sqrt{-x}}\right)$.
При $x \to 0^-$, $-x \to 0^+$, поэтому знаменатель $2\sqrt{-x}$ стремится к 0, оставаясь положительным. Следовательно, предел равен $-\infty$.

Правосторонняя производная:
$y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} (-3 \sin x) = -3 \sin(0) = 0$.

Так как левосторонняя производная $y'_{-}(0) = -\infty$, а правосторонняя производная $y'_{+}(0) = 0$, они не равны. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, но не дифференцируема в точке $x=0$.