Номер 18.12, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.12. Исследуйте функцию $y = -2 \cos \frac{x}{2}$ на монотонность на заданном промежутке:

a) $[0; $\frac{5\pi}{2}$];

б) (-3; 2);

в) $(-\frac{2\pi}{3}$; $\frac{5\pi}{3}$);

г) (3; 9).

Для исследования функции $y = -2 \cos(\frac{x}{2})$ на монотонность найдем ее производную. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (-2 \cos(\frac{x}{2}))' = -2 \cdot (-\sin(\frac{x}{2})) \cdot (\frac{x}{2})' = 2 \sin(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \sin(\frac{x}{2})$.

Монотонность функции зависит от знака ее производной.

• Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin(\frac{x}{2}) > 0$. Это выполняется при $2\pi k < \frac{x}{2} < \pi + 2\pi k$, что эквивалентно $4\pi k < x < 2\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin(\frac{x}{2}) < 0$. Это выполняется при $\pi + 2\pi k < \frac{x}{2} < 2\pi + 2\pi k$, что эквивалентно $2\pi + 4\pi k < x < 4\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Точки, в которых производная равна нулю, являются стационарными (критическими) точками. Они находятся из уравнения $\sin(\frac{x}{2}) = 0$, откуда $\frac{x}{2} = \pi k$, то есть $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках происходит смена характера монотонности.

Теперь исследуем функцию на каждом из заданных промежутков.

а) $[0; \frac{5\pi}{2}]$

Найдем стационарные точки, попадающие в промежуток $[0; \frac{5\pi}{2}]$.При $k=0$, $x=0$, это левая граница промежутка.При $k=1$, $x=2\pi$. Так как $0 \le 2\pi \le \frac{5\pi}{2}$ ($2.5\pi$), точка $x=2\pi$ принадлежит данному промежутку.При $k=2$, $x=4\pi$, что больше $\frac{5\pi}{2}$.Точка $x=2\pi$ разбивает исходный промежуток на два: $[0, 2\pi]$ и $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$.На промежутке $[0, 2\pi]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \ge 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $0$ до $\pi$. Следовательно, функция на этом промежутке возрастает.На промежутке $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \le 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $\pi$ до $\frac{5\pi}{4}$. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2\pi]$ и убывает на промежутке $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$.

б) $(-3; 2)$

Найдем стационарные точки в промежутке $(-3; 2)$.Единственной такой точкой является $x=0$ (при $k=0$).Эта точка разбивает промежуток на два: $(-3, 0]$ и $[0, 2)$.На промежутке $(-3, 0]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \le 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $-1.5$ до $0$. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.На промежутке $[0, 2)$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \ge 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $0$ до $1$. Следовательно, функция на этом промежутке возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-3, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, 2)$.

в) $(-\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$

Найдем стационарные точки в промежутке $(-\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$.Единственной такой точкой является $x=0$ (при $k=0$).Эта точка разбивает промежуток на два: $(-\frac{2\pi}{3}, 0]$ и $[0, \frac{5\pi}{3})$.На промежутке $(-\frac{2\pi}{3}, 0]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \le 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $-\frac{\pi}{3}$ до $0$. Следовательно, функция убывает.На промежутке $[0, \frac{5\pi}{3})$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \ge 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $0$ до $\frac{5\pi}{6}$. Следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\frac{2\pi}{3}, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, \frac{5\pi}{3})$.

г) $(3; 9)$

Найдем стационарные точки в промежутке $(3; 9)$.Для этого решим неравенство $3 < 2\pi k < 9$, или $\frac{3}{2\pi} < k < \frac{9}{2\pi}$.Приблизительно $0.477 < k < 1.43$. Единственное целое значение $k=1$, что дает $x=2\pi$.Точка $x=2\pi$ (приблизительно $6.28$) принадлежит промежутку $(3; 9)$ и разбивает его на два: $(3, 2\pi]$ и $[2\pi, 9)$.На промежутке $(3, 2\pi]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \ge 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $1.5$ до $\pi$. Следовательно, функция возрастает.На промежутке $[2\pi, 9)$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \le 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $\pi$ до $4.5$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(3, 2\pi]$ и убывает на промежутке $[2\pi, 9)$.