Номер 18.11, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.11. Исследуйте функцию $y = 2 \sin 3x$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $[0; \frac{\pi}{2}]$;

б) $(-1; 0)$;

в) $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$;

г) $(3; 4)$.

Для исследования функции $y = 2 \sin(3x)$ на монотонность, найдем ее производную. Монотонность функции определяется знаком ее производной: если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает.

Производная функции $y = 2 \sin(3x)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = (2 \sin(3x))' = 2 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2 \cos(3x) \cdot 3 = 6 \cos(3x)$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$6 \cos(3x) = 0 \implies \cos(3x) = 0$.

Отсюда $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, критические точки: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь исследуем знак производной на каждом из заданных промежутков.

Найдем критические точки, принадлежащие данному промежутку.
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{6}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Эта точка также принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Других целых значений $n$, для которых критические точки попадают в заданный промежуток, нет.
Таким образом, отрезок $[0; \frac{\pi}{2}]$ делится точкой $\frac{\pi}{6}$ на два промежутка монотонности: $[0; \frac{\pi}{6}]$ и $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$.
1. На промежутке $[0; \frac{\pi}{6}]$: возьмем пробную точку $x = \frac{\pi}{12}$. Тогда $y'(\frac{\pi}{12}) = 6 \cos(3 \cdot \frac{\pi}{12}) = 6 \cos(\frac{\pi}{4}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.
2. На промежутке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$: возьмем пробную точку $x = \frac{\pi}{4}$. Тогда $y'(\frac{\pi}{4}) = 6 \cos(3 \cdot \frac{\pi}{4}) = 6 \cos(\frac{3\pi}{4}) = 6 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3\sqrt{2} < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; \frac{\pi}{6}]$ и убывает на промежутке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$.

Найдем критические точки в интервале $(-1; 0)$.
При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $-\frac{\pi}{6} \approx -0.52$, и эта точка принадлежит интервалу $(-1; 0)$.
Другие значения $n$ дают точки вне этого интервала.
Точка $x = -\frac{\pi}{6}$ делит интервал $(-1; 0)$ на два: $(-1; -\frac{\pi}{6}]$ и $[-\frac{\pi}{6}; 0)$.
1. На промежутке $(-1; -\frac{\pi}{6}]$: возьмем пробную точку $x = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$. Тогда $y'(-\frac{\pi}{4}) = 6 \cos(3 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = 6 \cos(-\frac{3\pi}{4}) = 6 \cos(\frac{3\pi}{4}) < 0$. Функция убывает.
2. На промежутке $[-\frac{\pi}{6}; 0)$: возьмем пробную точку $x = -\frac{\pi}{12}$. Тогда $y'(-\frac{\pi}{12}) = 6 \cos(3 \cdot (-\frac{\pi}{12})) = 6 \cos(-\frac{\pi}{4}) = 6 \cos(\frac{\pi}{4}) > 0$. Функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-1; -\frac{\pi}{6}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{6}; 0)$.

Найдем критические точки в интервале $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$.
При $n=2$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$. $(\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3})$. Точка входит в интервал.
При $n=3$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. $(\frac{4\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} < \frac{10\pi}{6})$. Точка входит в интервал.
При $n=4$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$. $(\frac{4\pi}{6} < \frac{9\pi}{6} < \frac{10\pi}{6})$. Точка входит в интервал.
Данные точки делят интервал на четыре части: $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$, $[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$, $[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3})$.
1. На $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$, $3x \in (2\pi; \frac{5\pi}{2}]$. Здесь $\cos(3x) \ge 0$, функция возрастает.
2. На $[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$, $3x \in [\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$. Здесь $\cos(3x) \le 0$, функция убывает.
3. На $[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, $3x \in [\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}]$. Здесь $\cos(3x) \ge 0$, функция возрастает.
4. На $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3})$, $3x \in [\frac{9\pi}{2}; 5\pi)$. Здесь $\cos(3x) \le 0$, функция убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$ и $[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, убывает на промежутках $[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$ и $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3})$.

Найдем критические точки в интервале $(3; 4)$. Используем приближение $\pi \approx 3.14159$.
При $n=3$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \approx \frac{7 \cdot 3.14159}{6} \approx 3.665$. Эта точка принадлежит интервалу $(3; 4)$.
При $n=2$, $x = \frac{5\pi}{6} \approx 2.618 < 3$.
При $n=4$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.712 > 4$.
Единственная критическая точка в интервале — $x = \frac{7\pi}{6}$.
Она делит интервал $(3; 4)$ на два: $(3; \frac{7\pi}{6}]$ и $[\frac{7\pi}{6}; 4)$.
1. На промежутке $(3; \frac{7\pi}{6}]$: аргумент $3x$ изменяется от $9$ до $\frac{7\pi}{2} \approx 10.996$. Для $t \in (9; \frac{7\pi}{2})$ имеем $\cos(t) < 0$ (так как $2.5\pi \approx 7.85 < 9$ и $3.5\pi \approx 10.996$, этот интервал находится в 2-й и 3-й четвертях). Следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.
2. На промежутке $[\frac{7\pi}{6}; 4)$: аргумент $3x$ изменяется от $\frac{7\pi}{2} \approx 10.996$ до $12$. Для $t \in (\frac{7\pi}{2}; 12)$ имеем $\cos(t) > 0$ (так как $3.5\pi \approx 10.996 < 12 < 4\pi \approx 12.57$, этот интервал находится в 4-й четверти). Следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(3; \frac{7\pi}{6}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{7\pi}{6}; 4)$.