Номер 18.18, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.18. Решите уравнение:

а) $sin \pi x = 2x - 4;$

б) $cos \frac{\pi x}{3} = \sqrt{1,5x}.$

а)

Дано уравнение $\sin(\pi x) = 2x - 4$.

Этот тип уравнений, где тригонометрическая функция приравнивается к многочлену, обычно решается графически или методом оценки. Воспользуемся вторым методом.

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $f(x) = \sin(\pi x)$ и $g(x) = 2x - 4$.

Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого значения $x$ должно выполняться неравенство:

$-1 \le \sin(\pi x) \le 1$

Следовательно, чтобы уравнение имело решение, правая часть уравнения также должна принимать значения из этого отрезка:

$-1 \le 2x - 4 \le 1$

Решим это двойное неравенство:

$-1 + 4 \le 2x \le 1 + 4$

$3 \le 2x \le 5$

$\frac{3}{2} \le x \le \frac{5}{2}$

$1,5 \le x \le 2,5$

Таким образом, если у уравнения есть корни, они должны находиться в отрезке $[1,5; 2,5]$.

Проверим значения на концах этого отрезка:

• При $x = 1,5$:
  Левая часть: $\sin(\pi \cdot 1,5) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
  Правая часть: $2 \cdot 1,5 - 4 = 3 - 4 = -1$.
  Поскольку левая и правая части равны, $x = 1,5$ является корнем уравнения.
• При $x = 2,5$:
  Левая часть: $\sin(\pi \cdot 2,5) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = 1$.
  Правая часть: $2 \cdot 2,5 - 4 = 5 - 4 = 1$.
  Поскольку левая и правая части равны, $x = 2,5$ является корнем уравнения.

Проверим, есть ли другие решения внутри отрезка. Например, можно проверить целое значение $x=2$ из этого отрезка.

• При $x=2$:
  Левая часть: $\sin(\pi \cdot 2) = \sin(2\pi) = 0$.
  Правая часть: $2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
  Поскольку левая и правая части равны, $x = 2$ также является корнем уравнения.

Мы нашли три корня: $1,5$, $2$, $2,5$. Графически, это точки пересечения прямой $y=2x-4$ и синусоиды $y=\sin(\pi x)$. На отрезке $[1,5; 2,5]$ прямая соединяет точки $(1,5; -1)$ и $(2,5; 1)$, а синусоида проходит один "подъем" от своего минимума к максимуму через ноль. Эти три точки $(1,5; -1)$, $(2; 0)$ и $(2,5; 1)$ лежат как на прямой, так и на синусоиде. Других пересечений на этом отрезке и за его пределами нет.

Ответ: $1,5; 2; 2,5$.

б)

Дано уравнение $\cos(\frac{\pi x}{3}) = \sqrt{1,5x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) и оценим значения функций.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $1,5x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

2. Область значений функции косинуса - это отрезок $[-1, 1]$. Так как значение квадратного корня всегда неотрицательно ($\sqrt{1,5x} \ge 0$), то левая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $\cos(\frac{\pi x}{3}) \ge 0$.

3. Максимальное значение косинуса равно 1, поэтому для правой части должно выполняться неравенство:

$\sqrt{1,5x} \le 1$

Возведем обе части в квадрат:

$1,5x \le 1$

$x \le \frac{1}{1,5} \implies x \le \frac{2}{3}$

Объединяя все условия ($x \ge 0$ и $x \le \frac{2}{3}$), получаем, что возможные решения находятся в отрезке $[0; \frac{2}{3}]$.

На этом отрезке аргумент косинуса $\frac{\pi x}{3}$ изменяется от $\frac{\pi \cdot 0}{3} = 0$ до $\frac{\pi \cdot (2/3)}{3} = \frac{2\pi}{9}$. Этот интервал углов $[0, \frac{2\pi}{9}]$ находится в первой четверти, где косинус неотрицателен, так что условие $\cos(\frac{\pi x}{3}) \ge 0$ выполняется.

Теперь решим уравнение на отрезке $[0; \frac{2}{3}]$.

Рассмотрим функции $f(x) = \cos(\frac{\pi x}{3})$ и $g(x) = \sqrt{1,5x}$.

На отрезке $[0; \frac{2}{3}]$ функция $f(x)$ является убывающей (так как косинус убывает в первой четверти), а функция $g(x)$ является возрастающей. Это означает, что графики этих функций могут пересечься не более одного раза, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора. Выберем "удобный" угол, косинус которого легко вычислить, например $\frac{\pi}{6}$.

Пусть $\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{6}$. Отсюда $x = \frac{3}{6} = 0,5$.

Проверим, является ли $x=0,5$ корнем уравнения. Это значение принадлежит отрезку $[0; \frac{2}{3}]$.

Левая часть: $\cos(\frac{\pi \cdot 0,5}{3}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Правая часть: $\sqrt{1,5 \cdot 0,5} = \sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как левая и правая части равны, $x = 0,5$ является корнем уравнения.

Поскольку мы показали, что корень может быть только один, то это и есть единственное решение.

Ответ: $0,5$.