Номер 19.1, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.1. Постройте график функции:

a) $y = 3 \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right);$

б) $y = \cos \frac{1}{2} \left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

а) $y = 3 \sin(x + \frac{\pi}{2})$

Для построения графика этой функции можно пойти двумя путями: через упрощение выражения или через последовательные геометрические преобразования.

Способ 1: Упрощение с помощью формул приведения.

Используем тригонометрическую формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha)$. В нашем случае, полагая $\alpha = x$, получаем:

$y = 3 \cos(x)$

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = 3\cos(x)$. Этот график получается из графика базовой функции $y = \cos(x)$ путем его растяжения в 3 раза вдоль оси ординат (OY).

• Амплитуда колебаний равна 3. Это означает, что максимальное значение функции равно 3, а минимальное – -3. Область значений: $E(y) = [-3, 3]$.
• Период функции совпадает с периодом $y = \cos(x)$ и равен $T = 2\pi$.
• График проходит через ключевые точки: максимум в $(0, 3)$, пересечение с осью абсцисс в $(\frac{\pi}{2}, 0)$, минимум в $(\pi, -3)$, и так далее.

Способ 2: Построение с помощью последовательных преобразований.

Мы можем построить график, последовательно применяя преобразования к графику $y = \sin(x)$.

1. Строим график функции $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.
2. Строим график $y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$. Это результат сдвига (параллельного переноса) графика $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{2}$ единиц влево вдоль оси абсцисс (OX). Полученный график совпадает с графиком $y = \cos(x)$.
3. Строим график $y = 3\sin(x + \frac{\pi}{2})$. Для этого необходимо растянуть предыдущий график $y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ в 3 раза от оси OX. Амплитуда увеличится с 1 до 3.

Оба способа приводят к одному и тому же графику.

Ответ: График функции $y = 3 \sin(x + \frac{\pi}{2})$ является косинусоидой, которая совпадает с графиком функции $y = 3\cos(x)$. Амплитуда функции равна 3, период — $2\pi$. График симметричен относительно оси OY и проходит через точку $(0, 3)$.

б) $y = \cos\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3})$

График данной функции строится путем последовательных преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$. Общий вид функции $y = A \cos(k(x - d))$, где в нашем случае амплитуда $A=1$, коэффициент $k = \frac{1}{2}$, а фазовый сдвиг $d = -\frac{\pi}{3}$ (что соответствует сдвигу влево).

Выполним построение по шагам:

1. Начнем с графика базовой функции $y = \cos(x)$. Его амплитуда равна 1, период — $2\pi$.
2. Преобразуем его в график $y = \cos(\frac{1}{2}x)$. Коэффициент $k=\frac{1}{2}$ вызывает горизонтальное растяжение графика от оси OY в $1/k = 2$ раза. Период функции увеличивается вдвое: $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$. Амплитуда остается равной 1.
3. Теперь построим искомый график $y = \cos(\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}))$. Для этого сдвинем график $y = \cos(\frac{1}{2}x)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси OX.

Основные свойства итогового графика:

• Амплитуда: $A=1$. Область значений $E(y) = [-1, 1]$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
• Фазовый сдвиг: на $\frac{\pi}{3}$ влево.

Найдем координаты ключевых точек одного периода. Начало стандартного периода косинуса (максимум) смещается из $x=0$ в точку, где аргумент равен нулю:

$\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = 0 \implies x = -\frac{\pi}{3}$.

Ключевые точки одного периода, начиная с этого максимума:

• Максимум: $(-\frac{\pi}{3}, 1)$.
• Пересечение с осью OX (ноль): $\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{2\pi}{3}$. Точка $(\frac{2\pi}{3}, 0)$.
• Минимум: $\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = \pi \implies x = \frac{5\pi}{3}$. Точка $(\frac{5\pi}{3}, -1)$.
• Пересечение с осью OX (ноль): $\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{8\pi}{3}$. Точка $(\frac{8\pi}{3}, 0)$.
• Следующий максимум (конец периода): $\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = 2\pi \implies x = \frac{11\pi}{3}$. Точка $(\frac{11\pi}{3}, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}))$ — это косинусоида с амплитудой 1, периодом $4\pi$, сдвинутая влево на $\frac{\pi}{3}$ относительно графика $y=\cos(\frac{1}{2}x)$.