Страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.11. Исследуйте функцию $y = 2 \sin 3x$ на монотонность на заданном промежутке:

а) $[0; \frac{\pi}{2}]$;

б) $(-1; 0)$;

в) $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$;

г) $(3; 4)$.

Для исследования функции $y = 2 \sin(3x)$ на монотонность, найдем ее производную. Монотонность функции определяется знаком ее производной: если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает.

Производная функции $y = 2 \sin(3x)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = (2 \sin(3x))' = 2 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2 \cos(3x) \cdot 3 = 6 \cos(3x)$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$6 \cos(3x) = 0 \implies \cos(3x) = 0$.

Отсюда $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, критические точки: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь исследуем знак производной на каждом из заданных промежутков.

Найдем критические точки, принадлежащие данному промежутку.
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{6}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Эта точка также принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Других целых значений $n$, для которых критические точки попадают в заданный промежуток, нет.
Таким образом, отрезок $[0; \frac{\pi}{2}]$ делится точкой $\frac{\pi}{6}$ на два промежутка монотонности: $[0; \frac{\pi}{6}]$ и $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$.
1. На промежутке $[0; \frac{\pi}{6}]$: возьмем пробную точку $x = \frac{\pi}{12}$. Тогда $y'(\frac{\pi}{12}) = 6 \cos(3 \cdot \frac{\pi}{12}) = 6 \cos(\frac{\pi}{4}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.
2. На промежутке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$: возьмем пробную точку $x = \frac{\pi}{4}$. Тогда $y'(\frac{\pi}{4}) = 6 \cos(3 \cdot \frac{\pi}{4}) = 6 \cos(\frac{3\pi}{4}) = 6 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3\sqrt{2} < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; \frac{\pi}{6}]$ и убывает на промежутке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$.

Найдем критические точки в интервале $(-1; 0)$.
При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $-\frac{\pi}{6} \approx -0.52$, и эта точка принадлежит интервалу $(-1; 0)$.
Другие значения $n$ дают точки вне этого интервала.
Точка $x = -\frac{\pi}{6}$ делит интервал $(-1; 0)$ на два: $(-1; -\frac{\pi}{6}]$ и $[-\frac{\pi}{6}; 0)$.
1. На промежутке $(-1; -\frac{\pi}{6}]$: возьмем пробную точку $x = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$. Тогда $y'(-\frac{\pi}{4}) = 6 \cos(3 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = 6 \cos(-\frac{3\pi}{4}) = 6 \cos(\frac{3\pi}{4}) < 0$. Функция убывает.
2. На промежутке $[-\frac{\pi}{6}; 0)$: возьмем пробную точку $x = -\frac{\pi}{12}$. Тогда $y'(-\frac{\pi}{12}) = 6 \cos(3 \cdot (-\frac{\pi}{12})) = 6 \cos(-\frac{\pi}{4}) = 6 \cos(\frac{\pi}{4}) > 0$. Функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-1; -\frac{\pi}{6}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{6}; 0)$.

Найдем критические точки в интервале $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$.
При $n=2$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$. $(\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3})$. Точка входит в интервал.
При $n=3$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. $(\frac{4\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} < \frac{10\pi}{6})$. Точка входит в интервал.
При $n=4$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$. $(\frac{4\pi}{6} < \frac{9\pi}{6} < \frac{10\pi}{6})$. Точка входит в интервал.
Данные точки делят интервал на четыре части: $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$, $[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$, $[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3})$.
1. На $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$, $3x \in (2\pi; \frac{5\pi}{2}]$. Здесь $\cos(3x) \ge 0$, функция возрастает.
2. На $[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$, $3x \in [\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$. Здесь $\cos(3x) \le 0$, функция убывает.
3. На $[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, $3x \in [\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}]$. Здесь $\cos(3x) \ge 0$, функция возрастает.
4. На $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3})$, $3x \in [\frac{9\pi}{2}; 5\pi)$. Здесь $\cos(3x) \le 0$, функция убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$ и $[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, убывает на промежутках $[\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$ и $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3})$.

Найдем критические точки в интервале $(3; 4)$. Используем приближение $\pi \approx 3.14159$.
При $n=3$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \approx \frac{7 \cdot 3.14159}{6} \approx 3.665$. Эта точка принадлежит интервалу $(3; 4)$.
При $n=2$, $x = \frac{5\pi}{6} \approx 2.618 < 3$.
При $n=4$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.712 > 4$.
Единственная критическая точка в интервале — $x = \frac{7\pi}{6}$.
Она делит интервал $(3; 4)$ на два: $(3; \frac{7\pi}{6}]$ и $[\frac{7\pi}{6}; 4)$.
1. На промежутке $(3; \frac{7\pi}{6}]$: аргумент $3x$ изменяется от $9$ до $\frac{7\pi}{2} \approx 10.996$. Для $t \in (9; \frac{7\pi}{2})$ имеем $\cos(t) < 0$ (так как $2.5\pi \approx 7.85 < 9$ и $3.5\pi \approx 10.996$, этот интервал находится в 2-й и 3-й четвертях). Следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.
2. На промежутке $[\frac{7\pi}{6}; 4)$: аргумент $3x$ изменяется от $\frac{7\pi}{2} \approx 10.996$ до $12$. Для $t \in (\frac{7\pi}{2}; 12)$ имеем $\cos(t) > 0$ (так как $3.5\pi \approx 10.996 < 12 < 4\pi \approx 12.57$, этот интервал находится в 4-й четверти). Следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(3; \frac{7\pi}{6}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{7\pi}{6}; 4)$.

18.12. Исследуйте функцию $y = -2 \cos \frac{x}{2}$ на монотонность на заданном промежутке:

a) $[0; $\frac{5\pi}{2}$];

б) (-3; 2);

в) $(-\frac{2\pi}{3}$; $\frac{5\pi}{3}$);

г) (3; 9).

Для исследования функции $y = -2 \cos(\frac{x}{2})$ на монотонность найдем ее производную. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (-2 \cos(\frac{x}{2}))' = -2 \cdot (-\sin(\frac{x}{2})) \cdot (\frac{x}{2})' = 2 \sin(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \sin(\frac{x}{2})$.

Монотонность функции зависит от знака ее производной.

• Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin(\frac{x}{2}) > 0$. Это выполняется при $2\pi k < \frac{x}{2} < \pi + 2\pi k$, что эквивалентно $4\pi k < x < 2\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin(\frac{x}{2}) < 0$. Это выполняется при $\pi + 2\pi k < \frac{x}{2} < 2\pi + 2\pi k$, что эквивалентно $2\pi + 4\pi k < x < 4\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Точки, в которых производная равна нулю, являются стационарными (критическими) точками. Они находятся из уравнения $\sin(\frac{x}{2}) = 0$, откуда $\frac{x}{2} = \pi k$, то есть $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках происходит смена характера монотонности.

Теперь исследуем функцию на каждом из заданных промежутков.

а) $[0; \frac{5\pi}{2}]$

Найдем стационарные точки, попадающие в промежуток $[0; \frac{5\pi}{2}]$.При $k=0$, $x=0$, это левая граница промежутка.При $k=1$, $x=2\pi$. Так как $0 \le 2\pi \le \frac{5\pi}{2}$ ($2.5\pi$), точка $x=2\pi$ принадлежит данному промежутку.При $k=2$, $x=4\pi$, что больше $\frac{5\pi}{2}$.Точка $x=2\pi$ разбивает исходный промежуток на два: $[0, 2\pi]$ и $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$.На промежутке $[0, 2\pi]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \ge 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $0$ до $\pi$. Следовательно, функция на этом промежутке возрастает.На промежутке $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \le 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $\pi$ до $\frac{5\pi}{4}$. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2\pi]$ и убывает на промежутке $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$.

б) $(-3; 2)$

Найдем стационарные точки в промежутке $(-3; 2)$.Единственной такой точкой является $x=0$ (при $k=0$).Эта точка разбивает промежуток на два: $(-3, 0]$ и $[0, 2)$.На промежутке $(-3, 0]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \le 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $-1.5$ до $0$. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.На промежутке $[0, 2)$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \ge 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $0$ до $1$. Следовательно, функция на этом промежутке возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-3, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, 2)$.

в) $(-\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$

Найдем стационарные точки в промежутке $(-\frac{2\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$.Единственной такой точкой является $x=0$ (при $k=0$).Эта точка разбивает промежуток на два: $(-\frac{2\pi}{3}, 0]$ и $[0, \frac{5\pi}{3})$.На промежутке $(-\frac{2\pi}{3}, 0]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \le 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $-\frac{\pi}{3}$ до $0$. Следовательно, функция убывает.На промежутке $[0, \frac{5\pi}{3})$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \ge 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $0$ до $\frac{5\pi}{6}$. Следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\frac{2\pi}{3}, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, \frac{5\pi}{3})$.

г) $(3; 9)$

Найдем стационарные точки в промежутке $(3; 9)$.Для этого решим неравенство $3 < 2\pi k < 9$, или $\frac{3}{2\pi} < k < \frac{9}{2\pi}$.Приблизительно $0.477 < k < 1.43$. Единственное целое значение $k=1$, что дает $x=2\pi$.Точка $x=2\pi$ (приблизительно $6.28$) принадлежит промежутку $(3; 9)$ и разбивает его на два: $(3, 2\pi]$ и $[2\pi, 9)$.На промежутке $(3, 2\pi]$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \ge 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $1.5$ до $\pi$. Следовательно, функция возрастает.На промежутке $[2\pi, 9)$ производная $y' = \sin(\frac{x}{2}) \le 0$, поскольку $\frac{x}{2}$ изменяется от $\pi$ до $4.5$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(3, 2\pi]$ и убывает на промежутке $[2\pi, 9)$.

18.13. На каких промежутках функция $y = -0,5 \sin \frac{2x}{3}$:

а) возрастает;

б) убывает?

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции $y = -0,5 \sin\frac{2x}{3}$, мы воспользуемся ее производной. Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна ($y' \ge 0$), и убывает, когда ее производная неположительна ($y' \le 0$).

Сначала найдем производную функции $y(x)$:

$y' = \left(-0,5 \sin\frac{2x}{3}\right)'$

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$y' = -0,5 \cdot \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)' = -0,5 \cdot \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\cos\left(\frac{2x}{3}\right)$

Функция возрастает при условии $y' \ge 0$.

$-\frac{1}{3}\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \le 0$

Косинус является неположительным во второй и третьей четвертях единичной окружности. Это соответствует следующему неравенству для аргумента косинуса:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{2x}{3} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на $\frac{3}{2}$:

$\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) \le x \le \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$

$\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция возрастает на промежутках вида $\left[\frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \frac{9\pi}{4} + 3\pi n\right]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $\left[\frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \frac{9\pi}{4} + 3\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает при условии $y' \le 0$.

$-\frac{1}{3}\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \le 0$

Умножим обе части неравенства на -3, изменив знак неравенства:

$\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \ge 0$

Косинус является неотрицательным в первой и четвертой четвертях единичной окружности. Это соответствует неравенству:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{2x}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на $\frac{3}{2}$:

$\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) \le x \le \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$

$-\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $\left[-\frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \frac{3\pi}{4} + 3\pi n\right]$.

Ответ: функция убывает на промежутках $\left[-\frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \frac{3\pi}{4} + 3\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

18.14. На каких промежутках функция $y = 1.5 \cos \frac{3x}{2}$:

a) возрастает;

б) убывает?

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = 1,5 \cos\frac{3x}{2}$ необходимо найти её производную и проанализировать её знак.

Производная данной функции находится по правилу дифференцирования сложной функции. Пусть $u(x) = \frac{3x}{2}$, тогда $y(u) = 1,5 \cos u$.

$y' = (1,5 \cos\frac{3x}{2})' = 1,5 \cdot (-\sin\frac{3x}{2}) \cdot (\frac{3x}{2})' = -1,5 \sin\frac{3x}{2} \cdot \frac{3}{2} = -2,25 \sin\frac{3x}{2}$.

Функция возрастает на тех промежутках, где её производная $y' > 0$.

$-2,25 \sin\frac{3x}{2} > 0$

Разделим обе части неравенства на -2,25, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\sin\frac{3x}{2} < 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в III или IV координатной четверти. Общее решение этого тригонометрического неравенства:

$\pi + 2\pi n < \frac{3x}{2} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, умножим все части двойного неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(\pi + 2\pi n) < x < \frac{2}{3}(2\pi + 2\pi n)$

$\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3} < x < \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$

Поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой, концы промежутков, где производная равна нулю, можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}; \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на тех промежутках, где её производная $y' < 0$.

$-2,25 \sin\frac{3x}{2} < 0$

Разделим обе части неравенства на -2,25, изменив знак неравенства:

$\sin\frac{3x}{2} > 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в I или II координатной четверти. Общее решение этого неравенства:

$2\pi n < \frac{3x}{2} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(2\pi n) < x < \frac{2}{3}(\pi + 2\pi n)$

$\frac{4\pi n}{3} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$

Включая концы промежутков, получаем интервалы убывания.

Ответ: функция убывает на промежутках $[\frac{4\pi n}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Постройте график функции:

18.15. а) $y = \sin \pi x$;

б) $y = -2 \cos \frac{\pi x}{2}$;

в) $y = -2 \sin \frac{2\pi x}{3}$;

г) $y = 3 \cos \frac{3\pi x}{4}$.

Для построения графиков данных тригонометрических функций мы будем использовать метод преобразований графика базовой функции ($y = \sin x$ или $y = \cos x$). Общий вид функции $y = A f(kx+b) + c$, где $f$ - это синус или косинус.

• $|A|$ - амплитуда (растяжение/сжатие по вертикали). Если $A < 0$, происходит отражение относительно оси Ox.
• $T = \frac{2\pi}{|k|}$ - период функции (растяжение/сжатие по горизонтали).

Разберем каждую функцию по отдельности.

а) $y = \sin \pi x$

1. Анализ функции. Это функция вида $y = A \sin(kx)$ с амплитудой $A=1$ и коэффициентом $k = \pi$.
2. Амплитуда. Амплитуда равна $|1| = 1$. Это означает, что значения функции лежат в диапазоне $[-1, 1]$.
3. Период. Период функции вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
4. Построение. График этой функции получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в $\pi$ раз. Стандартный период $2\pi$ сжимается до 2.
5. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2]$:

• При $x=0$, $y = \sin(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=0.5$, $y = \sin(\pi \cdot 0.5) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Точка $(0.5, 1)$ - максимум.
• При $x=1$, $y = \sin(\pi) = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=1.5$, $y = \sin(\pi \cdot 1.5) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Точка $(1.5, -1)$ - минимум.
• При $x=2$, $y = \sin(2\pi) = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построив эти точки и соединив их плавной линией (синусоидой), мы получим график функции на одном периоде. Затем этот узор можно периодически повторять влево и вправо.

Ответ: График функции $y = \sin \pi x$ — это синусоида с амплитудой 1 и периодом 2. Она проходит через начало координат, достигает максимума в точке $(0.5, 1)$ и минимума в точке $(1.5, -1)$.

б) $y = -2 \cos \frac{\pi x}{2}$

1. Анализ функции. Это функция вида $y = A \cos(kx)$ с амплитудой $A=-2$ и коэффициентом $k = \frac{\pi}{2}$.
2. Амплитуда и отражение. Амплитуда равна $|-2| = 2$. Значения функции лежат в диапазоне $[-2, 2]$. Знак "минус" перед двойкой означает, что график будет отражен относительно оси Ox.
3. Период. Период функции: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$.
4. Построение. График получается из $y = \cos x$ следующими преобразованиями:

• Сжатие по горизонтали в $\frac{\pi}{2}$ раз (период становится 4).
• Растяжение по вертикали в 2 раза (амплитуда становится 2).
• Отражение относительно оси Ox.

5. Ключевые точки на одном периоде $[0, 4]$:

• При $x=0$, $y = -2\cos(0) = -2 \cdot 1 = -2$. Точка $(0, -2)$ - минимум.
• При $x=1$, $y = -2\cos(\frac{\pi \cdot 1}{2}) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=2$, $y = -2\cos(\frac{\pi \cdot 2}{2}) = -2\cos(\pi) = -2 \cdot (-1) = 2$. Точка $(2, 2)$ - максимум.
• При $x=3$, $y = -2\cos(\frac{\pi \cdot 3}{2}) = -2\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Точка $(3, 0)$.
• При $x=4$, $y = -2\cos(\frac{\pi \cdot 4}{2}) = -2\cos(2\pi) = -2$. Точка $(4, -2)$ - минимум.

Соединяем эти точки плавной кривой (косинусоидой).

Ответ: График функции $y = -2 \cos \frac{\pi x}{2}$ — это отраженная косинусоида с амплитудой 2 и периодом 4. Она имеет минимум в точке $(0, -2)$ и максимум в точке $(2, 2)$.

в) $y = -2 \sin \frac{2\pi x}{3}$

1. Анализ функции. Это функция вида $y = A \sin(kx)$ с $A=-2$ и $k = \frac{2\pi}{3}$.
2. Амплитуда и отражение. Амплитуда равна $|-2|=2$. Диапазон значений: $[-2, 2]$. График отражен относительно оси Ox.
3. Период. $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2\pi/3} = 3$.
4. Построение. График получается из $y = \sin x$ преобразованиями:

• Сжатие по горизонтали в $\frac{2\pi}{3}$ раз (период становится 3).
• Растяжение по вертикали в 2 раза (амплитуда становится 2).
• Отражение относительно оси Ox.

5. Ключевые точки на одном периоде $[0, 3]$:

• При $x=0$, $y = -2\sin(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=\frac{3}{4}=0.75$, $y = -2\sin(\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{3}{4}) = -2\sin(\frac{\pi}{2}) = -2$. Точка $(0.75, -2)$ - минимум.
• При $x=\frac{3}{2}=1.5$, $y = -2\sin(\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{3}{2}) = -2\sin(\pi) = 0$. Точка $(1.5, 0)$.
• При $x=\frac{9}{4}=2.25$, $y = -2\sin(\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{9}{4}) = -2\sin(\frac{3\pi}{2}) = 2$. Точка $(2.25, 2)$ - максимум.
• При $x=3$, $y = -2\sin(\frac{2\pi}{3}\cdot 3) = -2\sin(2\pi) = 0$. Точка $(3, 0)$.

Ответ: График функции $y = -2 \sin \frac{2\pi x}{3}$ — это отраженная синусоида с амплитудой 2 и периодом 3. Она проходит через начало координат, убывая, достигает минимума в точке $(0.75, -2)$ и максимума в точке $(2.25, 2)$.

г) $y = 3 \cos \frac{3\pi x}{4}$

1. Анализ функции. Это функция вида $y = A \cos(kx)$ с $A=3$ и $k = \frac{3\pi}{4}$.
2. Амплитуда. Амплитуда равна $|3|=3$. Диапазон значений: $[-3, 3]$. Отражения нет.
3. Период. $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3\pi/4} = \frac{8}{3}$.
4. Построение. График получается из $y = \cos x$ преобразованиями:

• Сжатие по горизонтали в $\frac{3\pi}{4}$ раз (период становится $\frac{8}{3}$).
• Растяжение по вертикали в 3 раза (амплитуда становится 3).

5. Ключевые точки на одном периоде $[0, \frac{8}{3}]$:

• При $x=0$, $y = 3\cos(0) = 3$. Точка $(0, 3)$ - максимум.
• При $x=\frac{2}{3}$, $y = 3\cos(\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{2}{3}) = 3\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{2}{3}, 0)$.
• При $x=\frac{4}{3}$, $y = 3\cos(\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{4}{3}) = 3\cos(\pi) = -3$. Точка $(\frac{4}{3}, -3)$ - минимум.
• При $x=2$, $y = 3\cos(\frac{3\pi}{4}\cdot 2) = 3\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Точка $(2, 0)$.
• При $x=\frac{8}{3}$, $y = 3\cos(\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{8}{3}) = 3\cos(2\pi) = 3$. Точка $(\frac{8}{3}, 3)$ - максимум.

Ответ: График функции $y = 3 \cos \frac{3\pi x}{4}$ — это косинусоида с амплитудой 3 и периодом $\frac{8}{3}$. Она имеет максимум в точке $(0, 3)$ и минимум в точке $(\frac{4}{3}, -3)$.

18.16. a) $y = \frac{1}{2} \cos 3 \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $y = -1,5 \sin \frac{2}{3} \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.

а) $y = \frac{1}{2}\cos3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

Для решения задачи найдем основные свойства данной тригонометрической функции. Функцию можно представить в виде $y = A\cos(k(x-b))$.

1. Область определения:
Функция косинус определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения данной функции: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений:
Значения стандартной функции $y=\cos(\alpha)$ находятся в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) \le 1$
Умножим все части неравенства на коэффициент $A = \frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \cdot (-1) \le \frac{1}{2}\cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) \le \frac{1}{2} \cdot 1$
$-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$
Таким образом, область значений функции (множество всех значений y) есть отрезок $E(y) = \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$.

3. Период:
Основной период функции $y=\cos x$ равен $2\pi$. Период функции вида $y = A\cos(k x + \phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k=3$.
$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

4. Нули функции:
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$.
$\frac{1}{2}\cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) = 0$
$\cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) = 0$
Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$3\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$3x - \pi = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$3x = \pi + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{3\pi}{2} + \pi n$
$x = \frac{1}{3}\left(\frac{3\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y)=\mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, основной период $T=\frac{2\pi}{3}$, нули функции $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -1,5\sin\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$

Для решения задачи найдем основные свойства данной тригонометрической функции. Функцию можно представить в виде $y = A\sin(k(x-b))$.

1. Область определения:
Функция синус определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения данной функции: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений:
Значения стандартной функции $y=\sin(\alpha)$ находятся в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \sin\left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) \le 1$
Умножим все части неравенства на коэффициент $A = -1,5$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1,5 \cdot 1 \le -1,5\sin\left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) \le -1,5 \cdot (-1)$
$-1,5 \le y \le 1,5$
Таким образом, область значений функции есть отрезок $E(y) = [-1,5; 1,5]$.

3. Период:
Основной период функции $y=\sin x$ равен $2\pi$. Период функции вида $y = A\sin(k x + \phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k=\frac{2}{3}$.
$T = \frac{2\pi}{\left|\frac{2}{3}\right|} = \frac{2\pi}{\frac{2}{3}} = 2\pi \cdot \frac{3}{2} = 3\pi$.

4. Нули функции:
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$.
$-1,5\sin\left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) = 0$
$\sin\left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) = 0$
Раскроем скобки в аргументе: $\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}\frac{\pi}{2} = \frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$.
$\sin\left(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$
Это равенство выполняется, когда аргумент синуса равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3} = \pi n$
$\frac{2}{3}x = \pi n - \frac{\pi}{3}$
$x = \frac{3}{2}\left(\pi n - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y)=\mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-1,5; 1,5]$, основной период $T=3\pi$, нули функции $x = \frac{3\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

18.17. a) $y = \sin(x + |x|);$

Б) $y = \cos\frac{x - 2|x|}{2};$

В) $y = \cos(x + |x|);$

Г) $y = \sin\frac{x + 3|x|}{2}.$

Для решения данных задач необходимо раскрыть модуль $|x|$ по определению:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $y = \sin(x + |x|)$

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin(x + x) = \sin(2x)$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin(x + (-x)) = \sin(0) = 0$

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x \ge 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{при } x \ge 0 \\ 0, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) $y = \cos\frac{x - 2|x|}{2}$

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos\frac{x - 2x}{2} = \cos\frac{-x}{2}$

Так как функция косинус является четной ($\cos(-a) = \cos(a)$), получаем:

$y = \cos\frac{x}{2}$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos\frac{x - 2(-x)}{2} = \cos\frac{x + 2x}{2} = \cos\frac{3x}{2}$

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} \cos\frac{x}{2}, & \text{если } x \ge 0 \\ \cos\frac{3x}{2}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \cos\frac{x}{2}, & \text{при } x \ge 0 \\ \cos\frac{3x}{2}, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

в) $y = \cos(x + |x|)$

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos(x + x) = \cos(2x)$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos(x + (-x)) = \cos(0) = 1$

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} \cos(2x), & \text{если } x \ge 0 \\ 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \cos(2x), & \text{при } x \ge 0 \\ 1, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

г) $y = \sin\frac{x + 3|x|}{2}$

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin\frac{x + 3x}{2} = \sin\frac{4x}{2} = \sin(2x)$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin\frac{x + 3(-x)}{2} = \sin\frac{x - 3x}{2} = \sin\frac{-2x}{2} = \sin(-x)$

Так как функция синус является нечетной ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:

$y = -\sin(x)$

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x \ge 0 \\ -\sin(x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{при } x \ge 0 \\ -\sin(x), & \text{при } x < 0 \end{cases}$

18.18. Решите уравнение:

а) $sin \pi x = 2x - 4;$

б) $cos \frac{\pi x}{3} = \sqrt{1,5x}.$

а)

Дано уравнение $\sin(\pi x) = 2x - 4$.

Этот тип уравнений, где тригонометрическая функция приравнивается к многочлену, обычно решается графически или методом оценки. Воспользуемся вторым методом.

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $f(x) = \sin(\pi x)$ и $g(x) = 2x - 4$.

Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого значения $x$ должно выполняться неравенство:

$-1 \le \sin(\pi x) \le 1$

Следовательно, чтобы уравнение имело решение, правая часть уравнения также должна принимать значения из этого отрезка:

$-1 \le 2x - 4 \le 1$

Решим это двойное неравенство:

$-1 + 4 \le 2x \le 1 + 4$

$3 \le 2x \le 5$

$\frac{3}{2} \le x \le \frac{5}{2}$

$1,5 \le x \le 2,5$

Таким образом, если у уравнения есть корни, они должны находиться в отрезке $[1,5; 2,5]$.

Проверим значения на концах этого отрезка:

• При $x = 1,5$:
  Левая часть: $\sin(\pi \cdot 1,5) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
  Правая часть: $2 \cdot 1,5 - 4 = 3 - 4 = -1$.
  Поскольку левая и правая части равны, $x = 1,5$ является корнем уравнения.
• При $x = 2,5$:
  Левая часть: $\sin(\pi \cdot 2,5) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = 1$.
  Правая часть: $2 \cdot 2,5 - 4 = 5 - 4 = 1$.
  Поскольку левая и правая части равны, $x = 2,5$ является корнем уравнения.

Проверим, есть ли другие решения внутри отрезка. Например, можно проверить целое значение $x=2$ из этого отрезка.

• При $x=2$:
  Левая часть: $\sin(\pi \cdot 2) = \sin(2\pi) = 0$.
  Правая часть: $2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
  Поскольку левая и правая части равны, $x = 2$ также является корнем уравнения.

Мы нашли три корня: $1,5$, $2$, $2,5$. Графически, это точки пересечения прямой $y=2x-4$ и синусоиды $y=\sin(\pi x)$. На отрезке $[1,5; 2,5]$ прямая соединяет точки $(1,5; -1)$ и $(2,5; 1)$, а синусоида проходит один "подъем" от своего минимума к максимуму через ноль. Эти три точки $(1,5; -1)$, $(2; 0)$ и $(2,5; 1)$ лежат как на прямой, так и на синусоиде. Других пересечений на этом отрезке и за его пределами нет.

Ответ: $1,5; 2; 2,5$.

б)

Дано уравнение $\cos(\frac{\pi x}{3}) = \sqrt{1,5x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) и оценим значения функций.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $1,5x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

2. Область значений функции косинуса - это отрезок $[-1, 1]$. Так как значение квадратного корня всегда неотрицательно ($\sqrt{1,5x} \ge 0$), то левая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $\cos(\frac{\pi x}{3}) \ge 0$.

3. Максимальное значение косинуса равно 1, поэтому для правой части должно выполняться неравенство:

$\sqrt{1,5x} \le 1$

Возведем обе части в квадрат:

$1,5x \le 1$

$x \le \frac{1}{1,5} \implies x \le \frac{2}{3}$

Объединяя все условия ($x \ge 0$ и $x \le \frac{2}{3}$), получаем, что возможные решения находятся в отрезке $[0; \frac{2}{3}]$.

На этом отрезке аргумент косинуса $\frac{\pi x}{3}$ изменяется от $\frac{\pi \cdot 0}{3} = 0$ до $\frac{\pi \cdot (2/3)}{3} = \frac{2\pi}{9}$. Этот интервал углов $[0, \frac{2\pi}{9}]$ находится в первой четверти, где косинус неотрицателен, так что условие $\cos(\frac{\pi x}{3}) \ge 0$ выполняется.

Теперь решим уравнение на отрезке $[0; \frac{2}{3}]$.

Рассмотрим функции $f(x) = \cos(\frac{\pi x}{3})$ и $g(x) = \sqrt{1,5x}$.

На отрезке $[0; \frac{2}{3}]$ функция $f(x)$ является убывающей (так как косинус убывает в первой четверти), а функция $g(x)$ является возрастающей. Это означает, что графики этих функций могут пересечься не более одного раза, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора. Выберем "удобный" угол, косинус которого легко вычислить, например $\frac{\pi}{6}$.

Пусть $\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{6}$. Отсюда $x = \frac{3}{6} = 0,5$.

Проверим, является ли $x=0,5$ корнем уравнения. Это значение принадлежит отрезку $[0; \frac{2}{3}]$.

Левая часть: $\cos(\frac{\pi \cdot 0,5}{3}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Правая часть: $\sqrt{1,5 \cdot 0,5} = \sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как левая и правая части равны, $x = 0,5$ является корнем уравнения.

Поскольку мы показали, что корень может быть только один, то это и есть единственное решение.

Ответ: $0,5$.

19.1. Постройте график функции:

a) $y = 3 \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right);$

б) $y = \cos \frac{1}{2} \left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

а) $y = 3 \sin(x + \frac{\pi}{2})$

Для построения графика этой функции можно пойти двумя путями: через упрощение выражения или через последовательные геометрические преобразования.

Способ 1: Упрощение с помощью формул приведения.

Используем тригонометрическую формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha)$. В нашем случае, полагая $\alpha = x$, получаем:

$y = 3 \cos(x)$

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = 3\cos(x)$. Этот график получается из графика базовой функции $y = \cos(x)$ путем его растяжения в 3 раза вдоль оси ординат (OY).

• Амплитуда колебаний равна 3. Это означает, что максимальное значение функции равно 3, а минимальное – -3. Область значений: $E(y) = [-3, 3]$.
• Период функции совпадает с периодом $y = \cos(x)$ и равен $T = 2\pi$.
• График проходит через ключевые точки: максимум в $(0, 3)$, пересечение с осью абсцисс в $(\frac{\pi}{2}, 0)$, минимум в $(\pi, -3)$, и так далее.

Способ 2: Построение с помощью последовательных преобразований.

Мы можем построить график, последовательно применяя преобразования к графику $y = \sin(x)$.

1. Строим график функции $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.
2. Строим график $y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$. Это результат сдвига (параллельного переноса) графика $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{2}$ единиц влево вдоль оси абсцисс (OX). Полученный график совпадает с графиком $y = \cos(x)$.
3. Строим график $y = 3\sin(x + \frac{\pi}{2})$. Для этого необходимо растянуть предыдущий график $y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ в 3 раза от оси OX. Амплитуда увеличится с 1 до 3.

Оба способа приводят к одному и тому же графику.

Ответ: График функции $y = 3 \sin(x + \frac{\pi}{2})$ является косинусоидой, которая совпадает с графиком функции $y = 3\cos(x)$. Амплитуда функции равна 3, период — $2\pi$. График симметричен относительно оси OY и проходит через точку $(0, 3)$.

б) $y = \cos\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3})$

График данной функции строится путем последовательных преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$. Общий вид функции $y = A \cos(k(x - d))$, где в нашем случае амплитуда $A=1$, коэффициент $k = \frac{1}{2}$, а фазовый сдвиг $d = -\frac{\pi}{3}$ (что соответствует сдвигу влево).

Выполним построение по шагам:

1. Начнем с графика базовой функции $y = \cos(x)$. Его амплитуда равна 1, период — $2\pi$.
2. Преобразуем его в график $y = \cos(\frac{1}{2}x)$. Коэффициент $k=\frac{1}{2}$ вызывает горизонтальное растяжение графика от оси OY в $1/k = 2$ раза. Период функции увеличивается вдвое: $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$. Амплитуда остается равной 1.
3. Теперь построим искомый график $y = \cos(\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}))$. Для этого сдвинем график $y = \cos(\frac{1}{2}x)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси OX.

Основные свойства итогового графика:

• Амплитуда: $A=1$. Область значений $E(y) = [-1, 1]$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
• Фазовый сдвиг: на $\frac{\pi}{3}$ влево.

Найдем координаты ключевых точек одного периода. Начало стандартного периода косинуса (максимум) смещается из $x=0$ в точку, где аргумент равен нулю:

$\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = 0 \implies x = -\frac{\pi}{3}$.

Ключевые точки одного периода, начиная с этого максимума:

• Максимум: $(-\frac{\pi}{3}, 1)$.
• Пересечение с осью OX (ноль): $\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{2\pi}{3}$. Точка $(\frac{2\pi}{3}, 0)$.
• Минимум: $\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = \pi \implies x = \frac{5\pi}{3}$. Точка $(\frac{5\pi}{3}, -1)$.
• Пересечение с осью OX (ноль): $\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{8\pi}{3}$. Точка $(\frac{8\pi}{3}, 0)$.
• Следующий максимум (конец периода): $\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}) = 2\pi \implies x = \frac{11\pi}{3}$. Точка $(\frac{11\pi}{3}, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}))$ — это косинусоида с амплитудой 1, периодом $4\pi$, сдвинутая влево на $\frac{\pi}{3}$ относительно графика $y=\cos(\frac{1}{2}x)$.