Страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

19.2. a) $y = -2 \cos 2 \left( x + \frac{\pi}{3} \right);$

б) $y = -2 \sin 3 \left( x + \frac{\pi}{2} \right).$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \cos x$. Общий вид функции: $y = A \cos(k(x + b))$, где амплитуда равна $|A|$, период $T = \frac{2\pi}{|k|}$, а фазовый сдвиг равен $-b$.

В нашем случае $A = -2$, $k = 2$, $b = \frac{\pi}{3}$.

Последовательность преобразований:

1. Начнем с графика функции $y = \cos x$.
2. Сжимаем график по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза, так как $k=2$. Получаем график функции $y = \cos(2x)$. Период этой функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Сдвигаем полученный график влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$, так как $b=\frac{\pi}{3}$. Получаем график функции $y = \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$.
4. Растягиваем график от оси Ox по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза, так как $|A|=2$. Получаем график функции $y = 2 \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений от -2 до 2.
5. Так как $A = -2$ (отрицательное значение), зеркально отражаем полученный график относительно оси Ox. Это дает нам искомый график функции $y = -2 \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

Определим основные свойства функции и найдем координаты ключевых точек для построения одного периода.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-2; 2]$.
• Период: $T = \pi$.
• Фазовый сдвиг: на $\frac{\pi}{3}$ влево.

Найдем точки одного периода. Из-за сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$ и отражения, новый "начальный" минимум цикла будет в точке $x = -\frac{\pi}{3}$.

• При $x = -\frac{\pi}{3}$, $y = -2\cos\left(2\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right) = -2\cos(0) = -2$. Это точка минимума.
• Точка максимума находится на половине периода от минимума: $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{T}{2} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi+3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Значение функции в этой точке: $y = -2\cos\left(2\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)\right) = -2\cos(\pi) = 2$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся на четверти периода от экстремумов:
  • $x_1 = -\frac{\pi}{3} + \frac{T}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{-4\pi+3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
  • $x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{T}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi+3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.
• Следующий минимум будет в конце периода: $x = -\frac{\pi}{3} + T = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, для построения графика на одном периоде от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$ используются ключевые точки: $(-\frac{\pi}{3}, -2)$, $(-\frac{\pi}{12}, 0)$, $(\frac{\pi}{6}, 2)$, $(\frac{5\pi}{12}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, -2)$. Далее этот фрагмент графика периодически повторяется с периодом $\pi$.

Ответ: График функции $y = -2 \cos 2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза (период становится $\pi$), сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$, растяжения по оси Oy в 2 раза (амплитуда 2) и отражения относительно оси Ox. Ключевые точки одного периода: минимум $(-\frac{\pi}{3}, -2)$, максимум $(\frac{\pi}{6}, 2)$, нули в точках $x = -\frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{5\pi}{12}$.

Для построения графика этой функции наиболее рационально сначала упростить ее выражение с помощью формул приведения.

Раскроем скобки в аргументе синуса: $y = -2 \sin\left(3x + \frac{3\pi}{2}\right)$.

Применим формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(\alpha)$. В данном случае $\alpha = 3x$.

Подставив в исходную функцию, получаем:

$y = -2(-\cos(3x)) = 2\cos(3x)$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = 2\cos(3x)$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ с помощью двух преобразований:

1. Сжатие графика по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{3}$.
2. Растяжение графика по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Амплитуда колебаний становится равной 2.

Определим основные свойства функции и ключевые точки:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-2; 2]$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{3}$.
• Функция является четной, так как $y(x) = 2\cos(3x)$ и $y(-x) = 2\cos(-3x) = 2\cos(3x) = y(x)$.

Найдем точки одного периода, начиная с $x=0$:

• При $x = 0$, $y = 2\cos(0) = 2$. Это точка максимума.
• Точка минимума находится на половине периода: $x = \frac{T}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$. Значение функции: $y = 2\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\cos(\pi) = -2$.
• Нули функции находятся на четверти и трех четвертях периода:
  • $x_1 = \frac{T}{4} = \frac{2\pi/3}{4} = \frac{\pi}{6}$.
  • $x_2 = \frac{3T}{4} = \frac{3 \cdot (2\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{2}$.
• Следующий максимум будет в конце периода: $x = T = \frac{2\pi}{3}$.

Ключевые точки для построения одного периода: $(0, 2)$, $(\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, -2)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, 2)$.

Ответ: График функции $y = -2 \sin 3\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ после упрощения совпадает с графиком функции $y = 2\cos(3x)$. Он получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия по оси Ox в 3 раза (период становится $\frac{2\pi}{3}$) и растяжения по оси Oy в 2 раза (амплитуда 2). Ключевые точки одного периода: максимум $(0, 2)$, минимум $(\frac{\pi}{3}, -2)$, нули в точках $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

19.3. а) $y = 2 \sin \left(3x - \frac{3\pi}{4}\right);$

б) $y = -3 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right).$

а) $y = 2\sin\left(3x - \frac{3\pi}{4}\right)$

Для анализа этой тригонометрической функции её необходимо привести к стандартному виду $y = A\sin(k(x - b)) + C$, где:

• $|A|$ — амплитуда (максимальное отклонение от среднего значения),
• $T = \frac{2\pi}{|k|}$ — период функции,
• $b$ — сдвиг по фазе (горизонтальный сдвиг графика),
• $C$ — вертикальный сдвиг графика.

Преобразуем данное уравнение. Для этого вынесем коэффициент при $x$ (то есть 3) за скобки внутри аргумента синуса:

$y = 2\sin\left(3x - \frac{3\pi}{4}\right) = 2\sin\left(3\left(x - \frac{3\pi}{4 \cdot 3}\right)\right) = 2\sin\left(3\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

Теперь мы можем определить все параметры функции, сравнивая полученное уравнение с $y = A\sin(k(x - b)) + C$.

1. Амплитуда: Коэффициент $A = 2$. Амплитуда равна $|A| = |2| = 2$. Это означает, что график функции растянут в 2 раза по вертикали (вдоль оси OY) по сравнению с графиком $y = \sin(x)$.

2. Период: Коэффициент $k = 3$. Стандартный период функции синус равен $2\pi$. Период данной функции вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, таким образом $T = \frac{2\pi}{3}$. Это означает, что график сжат в 3 раза по горизонтали (вдоль оси OX).

3. Сдвиг по фазе (горизонтальный сдвиг): В выражении $(x - \frac{\pi}{4})$ параметр $b = \frac{\pi}{4}$. Так как $b > 0$, это соответствует сдвигу графика функции $y = 2\sin(3x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси OX.

4. Вертикальный сдвиг: Параметр $C = 0$, следовательно, вертикального сдвига нет.

5. Область значений: Поскольку функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$, то для нашей функции имеем:$-1 \le \sin\left(3\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \le 1$.Умножая все части неравенства на 2, получаем:$-2 \le 2\sin\left(3\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \le 2$.Следовательно, область значений функции $E(y) = [-2, 2]$.

Ответ: Период $T = \frac{2\pi}{3}$, амплитуда равна 2, сдвиг по фазе на $\frac{\pi}{4}$ вправо, область значений $E(y) = [-2, 2]$.

б) $y = -3\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$

Аналогично предыдущему пункту, приведем функцию к стандартному виду $y = A\cos(k(x - b)) + C$.

Вынесем коэффициент при $x$ (то есть 2) за скобки внутри аргумента косинуса:

$y = -3\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = -3\cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = -3\cos\left(2\left(x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)$

Определим параметры функции:

1. Амплитуда: Коэффициент $A = -3$. Амплитуда равна $|A| = |-3| = 3$. Знак "минус" перед коэффициентом 3 означает, что график функции отражен симметрично относительно оси OX по сравнению с графиком $y = 3\cos(...)$.

2. Период: Коэффициент $k = 2$. Стандартный период функции косинус равен $2\pi$. Период данной функции $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. График сжат в 2 раза по горизонтали.

3. Сдвиг по фазе (горизонтальный сдвиг): В выражении $(x - (-\frac{\pi}{6}))$ параметр $b = -\frac{\pi}{6}$. Так как $b < 0$, это соответствует сдвигу графика функции $y = -3\cos(2x)$ на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси OX.

4. Вертикальный сдвиг: Параметр $C = 0$, вертикального сдвига нет.

5. Область значений: Функция косинус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$:$-1 \le \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) \le 1$.Умножим все части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:$(-3) \cdot (-1) \ge -3\cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) \ge (-3) \cdot 1$$3 \ge y \ge -3$.Таким образом, область значений функции $E(y) = [-3, 3]$.

Ответ: Период $T = \pi$, амплитуда равна 3, сдвиг по фазе на $\frac{\pi}{6}$ влево, график отражен относительно оси ОХ, область значений $E(y) = [-3, 3]$.

19.4. a) $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right).$

а) $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$

Для подробного анализа данной функции определим ее основные свойства: область определения, область значений, период и фазовый сдвиг. Функция имеет вид $y = A\sin(kx + \phi)$, где амплитуда $A = \frac{1}{2}$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$, и начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{6}$.

• Область определения. Аргумент функции синус, $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$, является линейной функцией, которая определена для всех действительных значений $x$. Сама функция синус также определена для любого действительного аргумента. Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений. Стандартная функция $\sin(t)$ принимает значения в пределах отрезка $[-1, 1]$. Для нашей функции это неравенство выглядит так: $-1 \le \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$. Умножив все части неравенства на амплитуду $A = \frac{1}{2}$, получаем:
  $\frac{1}{2} \cdot (-1) \le \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \le \frac{1}{2} \cdot 1$
  $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$
  Таким образом, область значений функции — это отрезок $E(y) = \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$.
• Период. Период тригонометрических функций вида $y = A\sin(kx + \phi)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $2\pi$ — это основной период функции $\sin(x)$. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$.
  $T = \frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
  Основной период функции равен $4\pi$.
• Фазовый сдвиг. Чтобы определить фазовый сдвиг, преобразуем аргумент функции к виду $k(x - x_0)$:
  $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi/6}{1/2}\right) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
  Фазовый сдвиг $x_0 = -\frac{\pi}{3}$. Это означает, что график функции $y = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2}x\right)$ сдвинут вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ влево.

Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$, основной период $T = 4\pi$.

б) $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$

Проведем подробный анализ данной функции. Она имеет вид $y = A\cos(kx + \phi)$, где коэффициент $A = -\frac{3}{2}$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$, и начальная фаза $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

• Область определения. Аргумент функции косинус, $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}$, определен для всех действительных значений $x$. Сама функция косинус также определена для любого действительного аргумента. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений. Стандартная функция $\cos(t)$ принимает значения в пределах отрезка $[-1, 1]$. Амплитуда функции равна $|A| = \left|-\frac{3}{2}\right| = \frac{3}{2}$. Знак "минус" перед коэффициентом $A$ означает отражение графика относительно оси Ox, но не влияет на диапазон значений.
  $-1 \le \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$.
  Умножим все части на $-\frac{3}{2}$, меняя знаки неравенства:
  $-\frac{3}{2} \cdot (-1) \ge -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \ge -\frac{3}{2} \cdot 1$
  $\frac{3}{2} \ge y \ge -\frac{3}{2}$
  Таким образом, область значений функции — это отрезок $E(y) = \left[-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right]$.
• Период. Период функции $y = A\cos(kx + \phi)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$.
  $T = \frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
  Основной период функции равен $4\pi$.
• Фазовый сдвиг. Преобразуем аргумент функции к виду $k(x - x_0)$:
  $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi/3}{1/2}\right) = \frac{1}{2}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$.
  Фазовый сдвиг $x_0 = \frac{2\pi}{3}$. Это означает, что график функции $y = -\frac{3}{2}\cos\left(\frac{1}{2}x\right)$ сдвинут вдоль оси абсцисс на $\frac{2\pi}{3}$ вправо.

Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = \left[-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right]$, основной период $T = 4\pi$.

19.5. Подберите коэффициенты a, b и c так, чтобы на данном рисунке был изображён график функции $y = a \sin (bx + c)$:

а) рис. 60;

2, -2

$-\frac{\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{12}$, $\frac{11\pi}{12}$

Рис. 60

б) рис. 61.

1.5, -1.5

$-\frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$

Рис. 61

Общий вид функции: $y = a \sin(bx + c)$.

Коэффициент $a$ отвечает за амплитуду (максимальное отклонение от оси $x$).

Коэффициент $b$ влияет на период функции $T$, который вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|b|}$.

Коэффициент $c$ отвечает за фазовый (горизонтальный) сдвиг графика. Сдвиг равен $-\frac{c}{b}$.

1. Найдем амплитуду $a$. Из графика видно, что максимальное значение функции $y_{max} = 2$, а минимальное $y_{min} = -2$. Амплитуда равна максимальному значению, поэтому $|a| = 2$. Будем считать, что $a=2$.

2. Найдем период $T$ и коэффициент $b$. На графике отмечены точки максимума $x_{max} = \frac{5\pi}{12}$ и следующего за ним минимума $x_{min} = \frac{11\pi}{12}$. Расстояние между ними равно половине периода ($T/2$). $T/2 = x_{min} - x_{max} = \frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, полный период $T = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$. Теперь найдем $b$ из формулы периода: $T = \frac{2\pi}{|b|}$. $\pi = \frac{2\pi}{|b|}$, откуда $|b|=2$. Будем считать, что $b=2$.

3. Найдем фазовый сдвиг $c$. Наша функция имеет вид $y = 2\sin(2x + c)$. Для нахождения $c$ подставим координаты точки максимума $(\frac{5\pi}{12}, 2)$ в уравнение. $2 = 2\sin(2 \cdot \frac{5\pi}{12} + c)$. $1 = \sin(\frac{5\pi}{6} + c)$. Синус равен 1, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. $\frac{5\pi}{6} + c = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. $c = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Выберем простейшее значение при $k=0$: $c = -\frac{\pi}{3}$.

Итоговая функция: $y = 2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $a = 2, b = 2, c = -\frac{\pi}{3}$.

1. Найдем амплитуду $a$. Из графика видно, что максимальное значение функции $y_{max} = 1,5$, а минимальное $y_{min} = -1,5$. Амплитуда $|a| = 1,5$. Будем считать, что $a=1,5$.

2. Найдем период $T$ и коэффициент $b$. На графике видно, что функция пересекает ось $x$ в точках $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{2}$, и между этими точками находится один минимум. Это расстояние равно половине периода ($T/2$). $T/2 = x_2 - x_1 = \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$. Следовательно, полный период $T = 2 \cdot 2\pi = 4\pi$. Теперь найдем $b$: $T = \frac{2\pi}{|b|}$. $4\pi = \frac{2\pi}{|b|}$, откуда $|b|=\frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$. Будем считать, что $b=0,5$.

3. Найдем фазовый сдвиг $c$. Функция имеет вид $y = 1,5\sin(0,5x + c)$. Для нахождения $c$ подставим координаты точки $(\frac{\pi}{2}, 0)$ в уравнение. В этой точке график пересекает ось $x$, убывая. $0 = 1,5\sin(0,5 \cdot \frac{\pi}{2} + c)$. $0 = \sin(\frac{\pi}{4} + c)$. Синус равен 0, когда его аргумент равен $\pi k$, где $k$ — целое число. Так как функция после этой точки убывает (как $\sin(x)$ после точки $x=\pi$), то аргумент должен быть равен $\pi + 2\pi k$ или $-\pi + 2\pi k$, и т.д. Возьмем простейший случай: $\frac{\pi}{4} + c = \pi$. $c = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Проверим с точкой минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1,5)$. Аргумент синуса в точке минимума должен быть равен $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. $0,5x+c = 0,5 \cdot \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$. Это соответствует минимуму.

Итоговая функция: $y = 1,5\sin(0,5x + \frac{3\pi}{4})$.
Ответ: $a = 1,5; b = 0,5; c = \frac{3\pi}{4}$.