Страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.15. Решите уравнение:

а) $2 \sin x - 1 = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9};$

б) $2 \cos x = \frac{9x^2}{\pi^2}.$

а) $2 \sin x - 1 = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9}$

Данное уравнение является трансцендентным, поскольку содержит как тригонометрическую, так и алгебраическую (квадратичную) функции от $x$. Такие уравнения редко решаются стандартными аналитическими методами. Часто решение можно найти, анализируя свойства функций в левой и правой частях.

Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9}$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Попробуем найти, при каких значениях $x$ правая часть обращается в ноль, так как это упростит выражение.

$g(x) = 0 \implies \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9} = 0 \implies \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2}{9}$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
1) $x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} \implies x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + 2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
2) $x - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} \implies x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь необходимо проверить, являются ли найденные значения $x$ корнями исходного уравнения. Для этого подставим их в левую часть $f(x) = 2 \sin x - 1$ и проверим, получится ли ноль (так как при этих $x$ правая часть равна нулю).

Проверка для $x = \frac{\pi}{6}$:
$2 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$.
Левая часть равна правой (0 = 0), следовательно, $x = \frac{\pi}{6}$ является решением.

Проверка для $x = \frac{5\pi}{6}$:
$2 \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - 1 = 2 \cdot \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$.
Левая часть равна правой (0 = 0), следовательно, $x = \frac{5\pi}{6}$ также является решением.

Чтобы убедиться в отсутствии других корней, можно сравнить поведение функций. Левая часть $f(x) = 2\sin x - 1$ ограничена диапазоном $[-3, 1]$. Правая часть $g(x) = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9}$ — парабола, неограниченная сверху. При больших по модулю значениях $x$ правая часть будет больше 1, поэтому других решений быть не может. В интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ левая часть положительна, а правая — отрицательна, поэтому пересечений там нет.

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{6}, x_2 = \frac{5\pi}{6}$.

б) $2 \cos x = \frac{9x^2}{\pi^2}$

Это также трансцендентное уравнение. Решим его методом оценки и анализа свойств функций.
Обозначим левую часть как $f(x) = 2 \cos x$ и правую как $g(x) = \frac{9x^2}{\pi^2}$.

Рассмотрим области значений этих функций:
1. Для $f(x) = 2 \cos x$, область значений — это отрезок $[-2, 2]$, так как $-1 \le \cos x \le 1$.
2. Для $g(x) = \frac{9x^2}{\pi^2}$, область значений — это луч $[0, +\infty)$, так как $x^2 \ge 0$.

Решение уравнения существует только там, где области значений пересекаются, то есть на отрезке $[0, 2]$. Это накладывает ограничения:
$0 \le 2 \cos x \le 2 \implies 0 \le \cos x \le 1$.
$0 \le \frac{9x^2}{\pi^2} \le 2 \implies x^2 \le \frac{2\pi^2}{9} \implies |x| \le \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$.

Обе функции, $f(x)$ и $g(x)$, являются четными, так как $\cos(-x) = \cos x$ и $(-x)^2 = x^2$. Это значит, что если $x_0$ является решением, то и $-x_0$ также будет решением. Поэтому достаточно найти решения для $x \ge 0$.

Попробуем найти решение методом подбора. Рассмотрим значение $x = \frac{\pi}{3}$:
Левая часть: $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Правая часть: $g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{9(\frac{\pi}{3})^2}{\pi^2} = \frac{9 \cdot \frac{\pi^2}{9}}{\pi^2} = \frac{\pi^2}{\pi^2} = 1$.
Поскольку левая и правая части равны, $x = \frac{\pi}{3}$ является корнем уравнения.

Так как функции четные, $x = -\frac{\pi}{3}$ также является корнем.

Докажем, что других корней нет. Рассмотрим графики функций. $f(x) = 2\cos x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ является вогнутой функцией (её "вершина" смотрит вверх), а $g(x) = \frac{9x^2}{\pi^2}$ — это парабола, которая является выпуклой функцией (её "вершина" смотрит вниз). Две такие функции могут пересечься не более чем в двух точках. Мы уже нашли две точки пересечения: $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$. Следовательно, других решений нет.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3}$.

•17.16. Решите неравенство:

a) $2 \cos x < 2 + x^4$;

б) $-2 \sin x > \frac{9}{\pi^2}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2$.

а)

Рассмотрим неравенство $2 \cos x < 2 + x^4$.

Этот тип неравенства, содержащий тригонометрическую и степенную функции, удобно решать методом оценки. Оценим левую и правую части неравенства.

1. Левая часть: $f(x) = 2 \cos x$.
Поскольку область значений функции косинуса [$-1, 1$], то есть $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x$, то для левой части имеем: $-2 \le 2 \cos x \le 2$. Максимальное значение левой части равно 2. Это значение достигается при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Правая часть: $g(x) = 2 + x^4$.
Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то для правой части имеем: $2 + x^4 \ge 2 + 0 = 2$. Минимальное значение правой части равно 2. Это значение достигается при $x^4 = 0$, то есть при $x = 0$.

3. Сравнение.
Мы имеем $2 \cos x \le 2$ и $2 + x^4 \ge 2$.
Рассмотрим случай, когда может выполняться равенство $2 \cos x = 2 + x^4$. Это возможно только в том случае, если обе части одновременно равны 2. $2 \cos x = 2 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$2 + x^4 = 2 \implies x^4 = 0 \implies x = 0$.
Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=0$ (при $k=0$). Таким образом, равенство $2 \cos x = 2 + x^4$ достигается только при $x=0$.

4. Решение неравенства.
Исходное неравенство является строгим: $2 \cos x < 2 + x^4$. Поскольку при $x=0$ левая и правая части равны, точка $x=0$ не является решением неравенства.

Для любого $x \neq 0$:

• Левая часть: $2 \cos x \le 2$.
• Правая часть: $x \neq 0 \implies x^4 > 0 \implies 2 + x^4 > 2$.

Таким образом, для любого $x \neq 0$ мы имеем $2 \cos x \le 2 < 2 + x^4$, что означает, что неравенство $2 \cos x < 2 + x^4$ выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $-2 \sin x > \frac{9}{\pi^2} \left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2$.

Преобразуем левую часть неравенства, чтобы она зависела от того же аргумента, что и правая часть, то есть от $\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Используем формулу приведения: $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Тогда $-2 \sin x = -2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Так как косинус — чётная функция, $\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)$, то $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Это не совсем то, что нам нужно. Воспользуемся другой формулой: $\sin x = \cos(x - \frac{\pi}{2})$. Еще раз, $-2 \sin x$. Используем $\sin x = -\cos(x + \frac{\pi}{2})$. $-2 \sin x = -2 \left(-\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right) = 2 \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Неравенство принимает вид: $2 \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) > \frac{9}{\pi^2}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{\pi}{2}$. Тогда неравенство становится: $2 \cos t > \frac{9}{\pi^2} t^2$.

Решим это неравенство графически или методом оценок, сравнивая функции $f(t) = 2 \cos t$ и $g(t) = \frac{9}{\pi^2} t^2$. Найдем точки пересечения графиков этих функций, то есть решим уравнение $2 \cos t = \frac{9}{\pi^2} t^2$.
Можно заметить, что при $t = \frac{\pi}{3}$: Левая часть: $2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Правая часть: $\frac{9}{\pi^2} \left(\frac{\pi}{3}\right)^2 = \frac{9}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{9} = 1$. Следовательно, $t = \frac{\pi}{3}$ является корнем уравнения.

Поскольку обе функции, $f(t) = 2 \cos t$ и $g(t) = \frac{9}{\pi^2} t^2$, являются чётными ($f(-t) = f(t)$ и $g(-t) = g(t)$), то $t = -\frac{\pi}{3}$ также является корнем уравнения.

График $g(t) = \frac{9}{\pi^2} t^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветвями вверх. График $f(t) = 2 \cos t$ — косинусоида с амплитудой 2. При $|t| > \frac{\pi}{3}$ парабола растёт, а косинусоида колеблется в пределах от -2 до 2. При достаточно больших $|t|$, парабола будет всегда выше косинусоиды. Можно показать, что других точек пересечения нет.

Точки $t = -\frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{\pi}{3}$ делят числовую ось на три интервала. Нам нужно определить, на каком из них выполняется неравенство $2 \cos t > \frac{9}{\pi^2} t^2$. Возьмём пробную точку из интервала $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$, например, $t=0$: $2 \cos(0) > \frac{9}{\pi^2} (0)^2 \implies 2 > 0$. Неравенство верно. Следовательно, решение для $t$ — это интервал $-\frac{\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3}$.

Теперь вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $t = x + \frac{\pi}{2}$: $-\frac{\pi}{3} < x + \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3}$.

Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей двойного неравенства: $-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}$.
$-\frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6}$.
$-\frac{5\pi}{6} < x < -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $x \in \left(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}\right)$.

Постройте график функции:

17.17. а) $y = \frac{3 \sin^3 x}{1 - \cos^2 x}$;

б) $y = \frac{\cos^3 x}{2 \sin^2 x - 2}$.

а) Рассмотрим функцию $y = \frac{3 \sin^3 x}{1 - \cos^2 x}$.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$1 - \cos^2 x \neq 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, преобразуем знаменатель:

$\sin^2 x \neq 0$

Отсюда следует, что $\sin x \neq 0$, а значит $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение для функции в области ее определения:

$y = \frac{3 \sin^3 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{3 \sin^3 x}{\sin^2 x} = 3 \sin x$.

Таким образом, график исходной функции является графиком функции $y = 3 \sin x$ с исключенными точками, в которых $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = 3 \sin x$ — это синусоида, растянутая в 3 раза вдоль оси Oy по сравнению с графиком $y = \sin x$. Амплитуда колебаний равна 3, период функции — $2\pi$.

Найдем координаты "выколотых" точек. Для этого подставим значения $x = \pi n$ в упрощенную функцию $y = 3 \sin x$:

$y = 3 \sin(\pi n) = 3 \cdot 0 = 0$.

Следовательно, из графика функции $y = 3 \sin x$ необходимо исключить точки с координатами $(\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, это точки $(..., -2\pi, 0), (-\pi, 0), (0, 0), (\pi, 0), (2\pi, 0), ...)$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду $y = 3 \sin x$ с "выколотыми" точками вида $(\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{\cos^3 x}{2 \sin^2 x - 2}$.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$2 \sin^2 x - 2 \neq 0$

$2(\sin^2 x - 1) \neq 0$

$-2(1 - \sin^2 x) \neq 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, преобразуем выражение в скобках:

$-2 \cos^2 x \neq 0$

$\cos^2 x \neq 0$

Отсюда следует, что $\cos x \neq 0$, а значит $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение для функции в области ее определения:

$y = \frac{\cos^3 x}{2 \sin^2 x - 2} = \frac{\cos^3 x}{-2(1 - \sin^2 x)} = \frac{\cos^3 x}{-2 \cos^2 x} = -\frac{1}{2} \cos x$.

Таким образом, график исходной функции является графиком функции $y = -\frac{1}{2} \cos x$ с исключенными точками, в которых $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = -\frac{1}{2} \cos x$ — это косинусоида, отраженная относительно оси Ox и сжатая в 2 раза вдоль оси Oy по сравнению с графиком $y = \cos x$. Амплитуда колебаний равна $\frac{1}{2}$, период функции — $2\pi$.

Найдем координаты "выколотых" точек. Для этого подставим значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ в упрощенную функцию $y = -\frac{1}{2} \cos x$:

$y = -\frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{2} + \pi n) = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.

Следовательно, из графика функции $y = -\frac{1}{2} \cos x$ необходимо исключить точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, это точки $(..., -\frac{3\pi}{2}, 0), (-\frac{\pi}{2}, 0), (\frac{\pi}{2}, 0), (\frac{3\pi}{2}, 0), ...)$.

Ответ: График функции представляет собой косинусоиду $y = -\frac{1}{2} \cos x$ с "выколотыми" точками вида $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

17.18. a) $y = 3 \sin x + |\sin x|$

б) $y = \cos x - 3|\cos x|$

а) Дана функция $y = 3\sin x + |\sin x|$. Для ее анализа необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x \ge 0$, что выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = 3\sin x + \sin x = 4\sin x$.

2. Если $\sin x < 0$, что выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = 3\sin x - \sin x = 2\sin x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} 4\sin x, & \text{при } x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ 2\sin x, & \text{при } x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$.

б) Дана функция $y = \cos x - 3|\cos x|$. Для ее анализа необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x \ge 0$, что выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид:
$y = \cos x - 3\cos x = -2\cos x$.

2. Если $\cos x < 0$, что выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид:
$y = \cos x - 3(-\cos x) = \cos x + 3\cos x = 4\cos x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} -2\cos x, & \text{при } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ 4\cos x, & \text{при } x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$.

17.19. а) $y = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{|\sin x|}$;

б) $y = \frac{2}{\cos x} + \frac{1}{|\cos x|}$.

а) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{|\sin x|}$.

Область определения функции (ОДЗ) задается условием, что знаменатели не равны нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для упрощения выражения необходимо раскрыть модуль $|\sin x|$. Это делается рассмотрением двух случаев в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x > 0$. Это условие выполняется для углов $x$, находящихся в I и II четвертях, то есть при $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{2}{\sin x}$.

2. Если $\sin x < 0$. Это условие выполняется для углов $x$, находящихся в III и IV четвертях, то есть при $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{-\sin x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} = 0$.

Таким образом, данная функция является кусочно-заданной и может быть записана в следующем виде:

$y = \begin{cases} \frac{2}{\sin x}, & \text{если } \sin x > 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \frac{2}{\sin x}$ при $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$; $y = 0$ при $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{\cos x} + \frac{1}{|\cos x|}$.

Область определения функции (ОДЗ) задается условием $\cos x \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для упрощения выражения необходимо раскрыть модуль $|\cos x|$. Это делается рассмотрением двух случаев в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x > 0$. Это условие выполняется для углов $x$, находящихся в I и IV четвертях, то есть при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{2}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = \frac{3}{\cos x}$.

2. Если $\cos x < 0$. Это условие выполняется для углов $x$, находящихся в II и III четвертях, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{2}{\cos x} + \frac{1}{-\cos x} = \frac{2}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos x}$.

Таким образом, данная функция является кусочно-заданной и может быть записана в следующем виде:

$y = \begin{cases} \frac{3}{\cos x}, & \text{если } \cos x > 0 \\ \frac{1}{\cos x}, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \frac{3}{\cos x}$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$; $y = \frac{1}{\cos x}$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

17.20. а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}(x - \pi)$;

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}(x + \pi)$.

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}(x - \pi)$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби $\sin x$ не может быть равен нулю. Следовательно, $x \neq k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|\sin x|$ в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Это неравенство выполняется на интервалах $(2k\pi, (2k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае множитель $\frac{|\sin x|}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$. Тогда функция принимает вид: $y = 1 \cdot (x - \pi) = x - \pi$.

2. Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Это неравенство выполняется на интервалах $((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае множитель $\frac{|\sin x|}{\sin x} = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$. Тогда функция принимает вид: $y = -1 \cdot (x - \pi) = \pi - x$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: Функция задается системой $y = \begin{cases} x - \pi, & \text{если } \sin x > 0 \\ \pi - x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$. Область определения функции: $x \neq k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}(x + \pi)$

Определим область определения функции. Знаменатель дроби $|\cos x|$ не может быть равен нулю, что эквивалентно условию $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|\cos x|$ в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Это неравенство выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае множитель $\frac{\cos x}{|\cos x|} = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$. Тогда функция принимает вид: $y = 1 \cdot (x + \pi) = x + \pi$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае множитель $\frac{\cos x}{|\cos x|} = \frac{\cos x}{-\cos x} = -1$. Тогда функция принимает вид: $y = -1 \cdot (x + \pi) = -x - \pi$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: Функция задается системой $y = \begin{cases} x + \pi, & \text{если } \cos x > 0 \\ -x - \pi, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$. Область определения функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

17.21. a) $y = \sin x + \sin |x| + |\sin x|;$

б) $y = \cos x + \cos |x| - |\cos x|.$

а) $y = \sin x + \sin|x| + |\sin x|$

Для упрощения этого выражения необходимо раскрыть модули. Раскрытие модулей $|x|$ и $|\sin x|$ зависит от знака их аргументов. Рассмотрим два основных случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = \sin x + \sin x + |\sin x| = 2\sin x + |\sin x|$

Далее рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $\sin x$:

- Если $\sin x \ge 0$ (это происходит при $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ — целое неотрицательное число), то $|\sin x| = \sin x$. Тогда:

$y = 2\sin x + \sin x = 3\sin x$

- Если $\sin x < 0$ (это происходит при $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k$ — целое неотрицательное число), то $|\sin x| = -\sin x$. Тогда:

$y = 2\sin x - \sin x = \sin x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = \sin x + \sin(-x) + |\sin x|$

Поскольку функция синус является нечетной, $\sin(-x) = -\sin x$. Следовательно:

$y = \sin x - \sin x + |\sin x| = |\sin x|$

Объединяя все случаи, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} |\sin x|, & \text{если } x < 0 \\ 3\sin x, & \text{если } x \ge 0 \text{ и } \sin x \ge 0 \\ \sin x, & \text{если } x \ge 0 \text{ и } \sin x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} |\sin x|, & \text{если } x < 0 \\ 3\sin x, & \text{если } x \ge 0 \text{ и } \sin x \ge 0 \\ \sin x, & \text{если } x \ge 0 \text{ и } \sin x < 0 \end{cases}$

б) $y = \cos x + \cos|x| - |\cos x|$

Для упрощения этого выражения необходимо раскрыть модули. Начнем с $\cos|x|$.

Функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$ для любого $x$. Это означает, что $\cos|x| = \cos x$ независимо от знака $x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \cos x + \cos x - |\cos x| = 2\cos x - |\cos x|$

Теперь выражение зависит только от знака $\cos x$. Раскроем оставшийся модуль:

1. Если $\cos x \ge 0$ (это происходит при $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ — целое число), то $|\cos x| = \cos x$. Тогда:

$y = 2\cos x - \cos x = \cos x$

2. Если $\cos x < 0$ (это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k$ — целое число), то $|\cos x| = -\cos x$. Тогда:

$y = 2\cos x - (-\cos x) = 2\cos x + \cos x = 3\cos x$

Таким образом, итоговая функция может быть записана в кусочном виде, который не зависит от знака $x$, а только от знака $\cos x$:

$y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 3\cos x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 3\cos x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

17.22. a) $y = \cos x + \cos \frac{x - |x|}{2} + |\cos x|$;

б) $y = \sin x - \sin \frac{x + |x|}{2} + |\sin x|$.

а) $y = \cos x + \cos \frac{x - |x|}{2} + |\cos x|$

Для упрощения этого выражения необходимо раскрыть модули. Раскрытие модуля $|x|$ зависит от знака $x$, поэтому рассмотрим два основных случая.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$y = \cos x + \cos \frac{x - x}{2} + |\cos x| = \cos x + \cos \frac{0}{2} + |\cos x| = \cos x + \cos 0 + |\cos x|$.

Поскольку $\cos 0 = 1$, выражение упрощается до:

$y = \cos x + 1 + |\cos x|$.

Теперь раскроем оставшийся модуль $|\cos x|$, который зависит от знака $\cos x$.

- Если $\cos x \ge 0$ (например, при $x \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cup \dots$), то $|\cos x| = \cos x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos x + 1 + \cos x = 2 \cos x + 1$.

- Если $\cos x < 0$ (например, при $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}) \cup \dots$), то $|\cos x| = -\cos x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos x + 1 - \cos x = 1$.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$y = \cos x + \cos \frac{x - (-x)}{2} + |\cos x| = \cos x + \cos \frac{2x}{2} + |\cos x| = \cos x + \cos x + |\cos x|$.

Выражение упрощается до:

$y = 2 \cos x + |\cos x|$.

Теперь раскроем модуль $|\cos x|$.

- Если $\cos x \ge 0$ (например, при $x \in \dots \cup [-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}] \cup [-\frac{\pi}{2}, 0)$), то $|\cos x| = \cos x$. Тогда функция принимает вид:

$y = 2 \cos x + \cos x = 3 \cos x$.

- Если $\cos x < 0$ (например, при $x \in \dots \cup (-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2})$), то $|\cos x| = -\cos x$. Тогда функция принимает вид:

$y = 2 \cos x - \cos x = \cos x$.

Объединяя все полученные результаты, можем записать функцию в кусочно-заданном виде.

Ответ: $y = \begin{cases} 3 \cos x, & \text{при } x < 0 \text{ и } \cos x \ge 0 \\ \cos x, & \text{при } x < 0 \text{ и } \cos x < 0 \\ 2 \cos x + 1, & \text{при } x \ge 0 \text{ и } \cos x \ge 0 \\ 1, & \text{при } x \ge 0 \text{ и } \cos x < 0 \end{cases}$

б) $y = \sin x - \sin \frac{x + |x|}{2} + |\sin x|$

Для упрощения этого выражения необходимо раскрыть модули. Раскрытие модуля $|x|$ зависит от знака $x$, поэтому рассмотрим два основных случая.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$y = \sin x - \sin \frac{x + x}{2} + |\sin x| = \sin x - \sin \frac{2x}{2} + |\sin x| = \sin x - \sin x + |\sin x|$.

Выражение упрощается до:

$y = |\sin x|$.

Это и есть упрощенная форма функции для $x \ge 0$. Можно также расписать ее по знаку $\sin x$:

- Если $\sin x \ge 0$ (например, при $x \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi] \cup \dots$), то $y = \sin x$.

- Если $\sin x < 0$ (например, при $x \in (\pi, 2\pi) \cup (3\pi, 4\pi) \cup \dots$), то $y = -\sin x$.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$y = \sin x - \sin \frac{x + (-x)}{2} + |\sin x| = \sin x - \sin \frac{0}{2} + |\sin x| = \sin x - \sin 0 + |\sin x|$.

Поскольку $\sin 0 = 0$, выражение упрощается до:

$y = \sin x + |\sin x|$.

Теперь раскроем модуль $|\sin x|$.

- Если $\sin x \ge 0$ (например, при $x \in \dots \cup [-4\pi, -3\pi] \cup [-2\pi, -\pi]$), то $|\sin x| = \sin x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin x + \sin x = 2 \sin x$.

- Если $\sin x < 0$ (например, при $x \in \dots \cup (-3\pi, -2\pi) \cup (-\pi, 0)$), то $|\sin x| = -\sin x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin x - \sin x = 0$.

Объединяя все полученные результаты, можем записать функцию в кусочно-заданном виде.

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \sin x, & \text{при } x < 0 \text{ и } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{при } x < 0 \text{ и } \sin x < 0 \\ |\sin x|, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$

Постройте график функции:

18.1. а) $y = \sqrt{2x}$;

б) $y = \sqrt{\frac{x}{2}};$

в) $y = (2x)^4$;

г) $y = \left|\frac{x}{3}\right|$.

а) $y = \sqrt{2x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{2x}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \sqrt{2x}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. Преобразование вида $y = f(kx)$ при $k > 1$ является сжатием графика функции $y = f(x)$ к оси $Oy$ (вертикальной оси) в $k$ раз. В нашем случае $k=2$, поэтому график $y = \sqrt{2x}$ получается путем сжатия графика $y = \sqrt{x}$ к оси $Oy$ в 2 раза.

3. Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений для построения графика:
- при $x=0$, $y = \sqrt{2 \cdot 0} = 0$; точка $(0; 0)$.
- при $x=0.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 0.5} = \sqrt{1} = 1$; точка $(0.5; 1)$.
- при $x=2$, $y = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$; точка $(2; 2)$.
- при $x=4.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 4.5} = \sqrt{9} = 3$; точка $(4.5; 3)$.

4. Построение графика.
Отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(0; 0)$ и уходит вправо и вверх, располагаясь в первой координатной четверти.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Он расположен в первой четверти и является результатом горизонтального сжатия графика $y = \sqrt{x}$ в 2 раза к оси $Oy$.

б) $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\frac{x}{2} \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. Преобразование вида $y = f(kx)$ при $0 < k < 1$ является растяжением графика функции $y = f(x)$ от оси $Oy$ в $\frac{1}{k}$ раз. В нашем случае $k=\frac{1}{2}$, поэтому график $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ получается путем растяжения графика $y = \sqrt{x}$ от оси $Oy$ в 2 раза.

3. Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений для построения графика:
- при $x=0$, $y = \sqrt{\frac{0}{2}} = 0$; точка $(0; 0)$.
- при $x=2$, $y = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1$; точка $(2; 1)$.
- при $x=8$, $y = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$; точка $(8; 2)$.
- при $x=18$, $y = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$; точка $(18; 3)$.

4. Построение графика.
Отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой. График является ветвью параболы, начинающейся в точке $(0; 0)$ и расположенной в первой координатной четверти. Он будет более "пологим", чем график $y = \sqrt{x}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Он расположен в первой четверти и является результатом горизонтального растяжения графика $y = \sqrt{x}$ в 2 раза от оси $Oy$.

в) $y = (2x)^4$

Для построения графика функции $y = (2x)^4$ сначала упростим выражение и проанализируем свойства.

1. Упрощение и свойства функции.
$y = (2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение определено для любых $x$.
- Область значений: Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $16x^4 \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
- Четность: $y(-x) = 16(-x)^4 = 16x^4 = y(x)$. Функция является четной, её график симметричен относительно оси $Oy$.

2. Преобразование графика.
График функции $y = 16x^4$ можно получить из графика базовой функции $y = x^4$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 16 раз. Альтернативно, это сжатие графика $y = x^4$ к оси $Oy$ в 2 раза. График будет похож на параболу, но с более крутыми ветвями и более плоским дном у вершины.

3. Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений, учитывая симметрию:
- при $x=0$, $y = 16 \cdot 0^4 = 0$; точка $(0; 0)$.
- при $x=0.5$, $y = 16 \cdot (0.5)^4 = 16 \cdot \frac{1}{16} = 1$; точка $(0.5; 1)$.
- при $x=-0.5$, $y = 16 \cdot (-0.5)^4 = 1$; точка $(-0.5; 1)$.
- при $x=1$, $y = 16 \cdot 1^4 = 16$; точка $(1; 16)$.
- при $x=-1$, $y = 16 \cdot (-1)^4 = 16$; точка $(-1; 16)$.

4. Построение графика.
Отмечаем точки на координатной плоскости. Точка $(0; 0)$ является вершиной и точкой минимума. Соединяем точки плавной кривой, симметричной относительно оси $Oy$. Ветви графика направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (2x)^4$ — это кривая, похожая на параболу ($y=x^4$), с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Он симметричен относительно оси $Oy$ и является результатом растяжения графика $y = x^4$ в 16 раз вдоль оси $Oy$.

г) $y = |\frac{x}{3}|$

Для построения графика функции $y = |\frac{x}{3}|$ проанализируем её свойства.

1. Свойства функции.
Функцию можно записать как $y = \frac{1}{3}|x|$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: Поскольку $|x| \ge 0$, то $\frac{1}{3}|x| \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
- Четность: $y(-x) = \frac{1}{3}|-x| = \frac{1}{3}|x| = y(x)$. Функция является четной, её график симметричен относительно оси $Oy$.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \frac{1}{3}|x|$ можно получить из графика базовой функции $y = |x|$ путем сжатия к оси $Ox$ в 3 раза (вертикальное сжатие). График будет иметь V-образную форму, но с более пологими ветвями, чем у $y = |x|$.

3. Кусочно-заданная форма.
Раскроем модуль:
- если $x \ge 0$, то $y = \frac{x}{3}$. Это луч, выходящий из начала координат с угловым коэффициентом $\frac{1}{3}$.
- если $x < 0$, то $y = -\frac{x}{3}$. Это луч, выходящий из начала координат с угловым коэффициентом $-\frac{1}{3}$.

4. Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений:
- при $x=0$, $y = |\frac{0}{3}| = 0$; точка $(0; 0)$ — вершина.
- при $x=3$, $y = |\frac{3}{3}| = 1$; точка $(3; 1)$.
- при $x=-3$, $y = |\frac{-3}{3}| = 1$; точка $(-3; 1)$.
- при $x=6$, $y = |\frac{6}{3}| = 2$; точка $(6; 2)$.
- при $x=-6$, $y = |\frac{-6}{3}| = 2$; точка $(-6; 2)$.

5. Построение графика.
График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0; 0)$. Один луч идет вправо и вверх по прямой $y = \frac{1}{3}x$, второй — влево и вверх по прямой $y = -\frac{1}{3}x$.

Ответ: График функции $y = |\frac{x}{3}|$ имеет V-образную форму с вершиной в начале координат. Он состоит из двух лучей: $y = \frac{1}{3}x$ для $x \ge 0$ и $y = -\frac{1}{3}x$ для $x < 0$. График симметричен относительно оси $Oy$ и является результатом вертикального сжатия графика $y = |x|$ в 3 раза.

18.2. a) $y = \sin \frac{x}{3}$;

б) $y = \cos 2x$;

в) $y = \cos \frac{x}{2}$;

г) $y = \sin 3x$.

а) Для нахождения основного периода функции $y = \sin\frac{x}{3}$ используется общая формула для периода функции вида $y = A\sin(kx + b)$. Основной (наименьший положительный) период функции синус, $y=\sin x$, равен $T_0 = 2\pi$. Период функции $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
В данном случае функция имеет вид $y = \sin(\frac{1}{3}x)$, где коэффициент $k = \frac{1}{3}$.
Следовательно, основной период $T$ равен:
$T = \frac{2\pi}{|1/3|} = \frac{2\pi}{1/3} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.
Ответ: $6\pi$

б) Для нахождения основного периода функции $y = \cos 2x$ используется общая формула для периода функции вида $y = A\cos(kx + b)$. Основной период функции косинус, $y=\cos x$, равен $T_0 = 2\pi$. Период функции $y = \cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
В данном случае функция имеет вид $y = \cos(2x)$, где коэффициент $k = 2$.
Следовательно, основной период $T$ равен:
$T = \frac{2\pi}{|2|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$

в) Для нахождения основного периода функции $y = \cos\frac{x}{2}$ используется общая формула для периода функции вида $y = A\cos(kx + b)$. Основной период функции косинус, $y=\cos x$, равен $T_0 = 2\pi$. Период функции $y = \cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
В данном случае функция имеет вид $y = \cos(\frac{1}{2}x)$, где коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
Следовательно, основной период $T$ равен:
$T = \frac{2\pi}{|1/2|} = \frac{2\pi}{1/2} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$

г) Для нахождения основного периода функции $y = \sin 3x$ используется общая формула для периода функции вида $y = A\sin(kx + b)$. Основной период функции синус, $y=\sin x$, равен $T_0 = 2\pi$. Период функции $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.
В данном случае функция имеет вид $y = \sin(3x)$, где коэффициент $k = 3$.
Следовательно, основной период $T$ равен:
$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$