Номер 17.18, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Построение графика функции у = mf(x). Глава 3. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 17.18, страница 116.

17.18. a) $y = 3 \sin x + |\sin x|$

б) $y = \cos x - 3|\cos x|$

а) Дана функция $y = 3\sin x + |\sin x|$. Для ее анализа необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x \ge 0$, что выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = 3\sin x + \sin x = 4\sin x$.

2. Если $\sin x < 0$, что выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = 3\sin x - \sin x = 2\sin x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} 4\sin x, & \text{при } x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ 2\sin x, & \text{при } x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$.

б) Дана функция $y = \cos x - 3|\cos x|$. Для ее анализа необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x \ge 0$, что выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид:
$y = \cos x - 3\cos x = -2\cos x$.

2. Если $\cos x < 0$, что выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, то по определению модуля $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид:
$y = \cos x - 3(-\cos x) = \cos x + 3\cos x = 4\cos x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} -2\cos x, & \text{при } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ 4\cos x, & \text{при } x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$.