Номер 17.22, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.22. a) $y = \cos x + \cos \frac{x - |x|}{2} + |\cos x|$;

б) $y = \sin x - \sin \frac{x + |x|}{2} + |\sin x|$.

а) $y = \cos x + \cos \frac{x - |x|}{2} + |\cos x|$

Для упрощения этого выражения необходимо раскрыть модули. Раскрытие модуля $|x|$ зависит от знака $x$, поэтому рассмотрим два основных случая.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$y = \cos x + \cos \frac{x - x}{2} + |\cos x| = \cos x + \cos \frac{0}{2} + |\cos x| = \cos x + \cos 0 + |\cos x|$.

Поскольку $\cos 0 = 1$, выражение упрощается до:

$y = \cos x + 1 + |\cos x|$.

Теперь раскроем оставшийся модуль $|\cos x|$, который зависит от знака $\cos x$.

- Если $\cos x \ge 0$ (например, при $x \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cup \dots$), то $|\cos x| = \cos x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos x + 1 + \cos x = 2 \cos x + 1$.

- Если $\cos x < 0$ (например, при $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}) \cup \dots$), то $|\cos x| = -\cos x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos x + 1 - \cos x = 1$.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$y = \cos x + \cos \frac{x - (-x)}{2} + |\cos x| = \cos x + \cos \frac{2x}{2} + |\cos x| = \cos x + \cos x + |\cos x|$.

Выражение упрощается до:

$y = 2 \cos x + |\cos x|$.

Теперь раскроем модуль $|\cos x|$.

- Если $\cos x \ge 0$ (например, при $x \in \dots \cup [-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}] \cup [-\frac{\pi}{2}, 0)$), то $|\cos x| = \cos x$. Тогда функция принимает вид:

$y = 2 \cos x + \cos x = 3 \cos x$.

- Если $\cos x < 0$ (например, при $x \in \dots \cup (-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2})$), то $|\cos x| = -\cos x$. Тогда функция принимает вид:

$y = 2 \cos x - \cos x = \cos x$.

Объединяя все полученные результаты, можем записать функцию в кусочно-заданном виде.

Ответ: $y = \begin{cases} 3 \cos x, & \text{при } x < 0 \text{ и } \cos x \ge 0 \\ \cos x, & \text{при } x < 0 \text{ и } \cos x < 0 \\ 2 \cos x + 1, & \text{при } x \ge 0 \text{ и } \cos x \ge 0 \\ 1, & \text{при } x \ge 0 \text{ и } \cos x < 0 \end{cases}$

б) $y = \sin x - \sin \frac{x + |x|}{2} + |\sin x|$

Для упрощения этого выражения необходимо раскрыть модули. Раскрытие модуля $|x|$ зависит от знака $x$, поэтому рассмотрим два основных случая.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$y = \sin x - \sin \frac{x + x}{2} + |\sin x| = \sin x - \sin \frac{2x}{2} + |\sin x| = \sin x - \sin x + |\sin x|$.

Выражение упрощается до:

$y = |\sin x|$.

Это и есть упрощенная форма функции для $x \ge 0$. Можно также расписать ее по знаку $\sin x$:

- Если $\sin x \ge 0$ (например, при $x \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi] \cup \dots$), то $y = \sin x$.

- Если $\sin x < 0$ (например, при $x \in (\pi, 2\pi) \cup (3\pi, 4\pi) \cup \dots$), то $y = -\sin x$.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

$y = \sin x - \sin \frac{x + (-x)}{2} + |\sin x| = \sin x - \sin \frac{0}{2} + |\sin x| = \sin x - \sin 0 + |\sin x|$.

Поскольку $\sin 0 = 0$, выражение упрощается до:

$y = \sin x + |\sin x|$.

Теперь раскроем модуль $|\sin x|$.

- Если $\sin x \ge 0$ (например, при $x \in \dots \cup [-4\pi, -3\pi] \cup [-2\pi, -\pi]$), то $|\sin x| = \sin x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin x + \sin x = 2 \sin x$.

- Если $\sin x < 0$ (например, при $x \in \dots \cup (-3\pi, -2\pi) \cup (-\pi, 0)$), то $|\sin x| = -\sin x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin x - \sin x = 0$.

Объединяя все полученные результаты, можем записать функцию в кусочно-заданном виде.

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \sin x, & \text{при } x < 0 \text{ и } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{при } x < 0 \text{ и } \sin x < 0 \\ |\sin x|, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$