Номер 18.1, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Построение графика функции у = f(kx). Глава 3. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 18.1, страница 116.

Постройте график функции:

18.1. а) $y = \sqrt{2x}$;

б) $y = \sqrt{\frac{x}{2}};$

в) $y = (2x)^4$;

г) $y = \left|\frac{x}{3}\right|$.

а) $y = \sqrt{2x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{2x}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \sqrt{2x}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. Преобразование вида $y = f(kx)$ при $k > 1$ является сжатием графика функции $y = f(x)$ к оси $Oy$ (вертикальной оси) в $k$ раз. В нашем случае $k=2$, поэтому график $y = \sqrt{2x}$ получается путем сжатия графика $y = \sqrt{x}$ к оси $Oy$ в 2 раза.

3. Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений для построения графика:
- при $x=0$, $y = \sqrt{2 \cdot 0} = 0$; точка $(0; 0)$.
- при $x=0.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 0.5} = \sqrt{1} = 1$; точка $(0.5; 1)$.
- при $x=2$, $y = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$; точка $(2; 2)$.
- при $x=4.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 4.5} = \sqrt{9} = 3$; точка $(4.5; 3)$.

4. Построение графика.
Отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(0; 0)$ и уходит вправо и вверх, располагаясь в первой координатной четверти.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Он расположен в первой четверти и является результатом горизонтального сжатия графика $y = \sqrt{x}$ в 2 раза к оси $Oy$.

б) $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\frac{x}{2} \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. Преобразование вида $y = f(kx)$ при $0 < k < 1$ является растяжением графика функции $y = f(x)$ от оси $Oy$ в $\frac{1}{k}$ раз. В нашем случае $k=\frac{1}{2}$, поэтому график $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ получается путем растяжения графика $y = \sqrt{x}$ от оси $Oy$ в 2 раза.

3. Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений для построения графика:
- при $x=0$, $y = \sqrt{\frac{0}{2}} = 0$; точка $(0; 0)$.
- при $x=2$, $y = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1$; точка $(2; 1)$.
- при $x=8$, $y = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$; точка $(8; 2)$.
- при $x=18$, $y = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$; точка $(18; 3)$.

4. Построение графика.
Отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой. График является ветвью параболы, начинающейся в точке $(0; 0)$ и расположенной в первой координатной четверти. Он будет более "пологим", чем график $y = \sqrt{x}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Он расположен в первой четверти и является результатом горизонтального растяжения графика $y = \sqrt{x}$ в 2 раза от оси $Oy$.

в) $y = (2x)^4$

Для построения графика функции $y = (2x)^4$ сначала упростим выражение и проанализируем свойства.

1. Упрощение и свойства функции.
$y = (2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение определено для любых $x$.
- Область значений: Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $16x^4 \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
- Четность: $y(-x) = 16(-x)^4 = 16x^4 = y(x)$. Функция является четной, её график симметричен относительно оси $Oy$.

2. Преобразование графика.
График функции $y = 16x^4$ можно получить из графика базовой функции $y = x^4$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 16 раз. Альтернативно, это сжатие графика $y = x^4$ к оси $Oy$ в 2 раза. График будет похож на параболу, но с более крутыми ветвями и более плоским дном у вершины.

3. Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений, учитывая симметрию:
- при $x=0$, $y = 16 \cdot 0^4 = 0$; точка $(0; 0)$.
- при $x=0.5$, $y = 16 \cdot (0.5)^4 = 16 \cdot \frac{1}{16} = 1$; точка $(0.5; 1)$.
- при $x=-0.5$, $y = 16 \cdot (-0.5)^4 = 1$; точка $(-0.5; 1)$.
- при $x=1$, $y = 16 \cdot 1^4 = 16$; точка $(1; 16)$.
- при $x=-1$, $y = 16 \cdot (-1)^4 = 16$; точка $(-1; 16)$.

4. Построение графика.
Отмечаем точки на координатной плоскости. Точка $(0; 0)$ является вершиной и точкой минимума. Соединяем точки плавной кривой, симметричной относительно оси $Oy$. Ветви графика направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (2x)^4$ — это кривая, похожая на параболу ($y=x^4$), с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Он симметричен относительно оси $Oy$ и является результатом растяжения графика $y = x^4$ в 16 раз вдоль оси $Oy$.

г) $y = |\frac{x}{3}|$

Для построения графика функции $y = |\frac{x}{3}|$ проанализируем её свойства.

1. Свойства функции.
Функцию можно записать как $y = \frac{1}{3}|x|$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: Поскольку $|x| \ge 0$, то $\frac{1}{3}|x| \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
- Четность: $y(-x) = \frac{1}{3}|-x| = \frac{1}{3}|x| = y(x)$. Функция является четной, её график симметричен относительно оси $Oy$.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \frac{1}{3}|x|$ можно получить из графика базовой функции $y = |x|$ путем сжатия к оси $Ox$ в 3 раза (вертикальное сжатие). График будет иметь V-образную форму, но с более пологими ветвями, чем у $y = |x|$.

3. Кусочно-заданная форма.
Раскроем модуль:
- если $x \ge 0$, то $y = \frac{x}{3}$. Это луч, выходящий из начала координат с угловым коэффициентом $\frac{1}{3}$.
- если $x < 0$, то $y = -\frac{x}{3}$. Это луч, выходящий из начала координат с угловым коэффициентом $-\frac{1}{3}$.

4. Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений:
- при $x=0$, $y = |\frac{0}{3}| = 0$; точка $(0; 0)$ — вершина.
- при $x=3$, $y = |\frac{3}{3}| = 1$; точка $(3; 1)$.
- при $x=-3$, $y = |\frac{-3}{3}| = 1$; точка $(-3; 1)$.
- при $x=6$, $y = |\frac{6}{3}| = 2$; точка $(6; 2)$.
- при $x=-6$, $y = |\frac{-6}{3}| = 2$; точка $(-6; 2)$.

5. Построение графика.
График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0; 0)$. Один луч идет вправо и вверх по прямой $y = \frac{1}{3}x$, второй — влево и вверх по прямой $y = -\frac{1}{3}x$.

Ответ: График функции $y = |\frac{x}{3}|$ имеет V-образную форму с вершиной в начале координат. Он состоит из двух лучей: $y = \frac{1}{3}x$ для $x \ge 0$ и $y = -\frac{1}{3}x$ для $x < 0$. График симметричен относительно оси $Oy$ и является результатом вертикального сжатия графика $y = |x|$ в 3 раза.