Номер 18.3, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

$y = 3 \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 2,5 \cos 2x$;

в) $y = -3 \sin 2x$;

г) $y = 2 \cos \frac{x}{3}$.

Для построения графиков данных функций, мы будем использовать метод преобразования графиков элементарных тригонометрических функций $y=\sin(x)$ и $y=\cos(x)$. Общий вид функций - $y=A \cdot f(kx)$, где $A$ - амплитуда (отвечает за растяжение/сжатие по вертикали и отражение), а $k$ - коэффициент, влияющий на период функции (отвечает за растяжение/сжатие по горизонтали).

1. Анализ функции.
Это синусоида. Сравним ее с функцией $y = A \sin(kx)$.
- Амплитуда $A=3$. Это означает, что график функции $y=\sin(x)$ растянут в 3 раза вдоль оси Oy. Все значения y будут умножены на 3. Область значений функции: $E(y) = [-3, 3]$.
- Коэффициент при x равен $k=\frac{1}{2}$. Это означает, что график функции $y=\sin(x)$ растянут в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

2. Построение графика.
Построение можно выполнить в несколько шагов:
- Строим график основной функции $y = \sin(x)$. Его период $2\pi$, область значений $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Ox в 2 раза, чтобы получить график $y = \sin\frac{x}{2}$. Период станет $4\pi$. Координаты x ключевых точек умножаются на 2: $(0, 0)$, $(\pi, 1)$, $(2\pi, 0)$, $(3\pi, -1)$, $(4\pi, 0)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, чтобы получить искомый график $y = 3 \sin\frac{x}{2}$. Амплитуда станет 3. Координаты y ключевых точек умножаются на 3: $(0, 0)$, $(\pi, 3)$, $(2\pi, 0)$, $(3\pi, -3)$, $(4\pi, 0)$.
- Соединяем эти точки плавной кривой (синусоидой) и повторяем ее с периодом $4\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = 3 \sin\frac{x}{2}$ нужно взять график $y=\sin(x)$, растянуть его в 2 раза по горизонтали (период станет $4\pi$) и в 3 раза по вертикали (амплитуда станет 3). Ключевые точки на одном периоде $[0, 4\pi]$: нули в $x=0, 2\pi, 4\pi$; максимум $( \pi, 3)$; минимум $(3\pi, -3)$.

1. Анализ функции.
Это косинусоида. Сравним ее с функцией $y = A \cos(kx)$.
- Амплитуда $A=2,5$. Это означает, что график функции $y=\cos(x)$ растянут в 2,5 раза вдоль оси Oy. Область значений функции: $E(y) = [-2,5; 2,5]$.
- Коэффициент при x равен $k=2$. Это означает, что график функции $y=\cos(x)$ сжат в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Построение графика.
- Строим график основной функции $y = \cos(x)$. Его период $2\pi$, область значений $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.
- Применяем сжатие вдоль оси Ox в 2 раза, чтобы получить график $y = \cos 2x$. Период станет $\pi$. Координаты x ключевых точек делятся на 2: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Oy в 2,5 раза, чтобы получить искомый график $y = 2,5 \cos 2x$. Амплитуда станет 2,5. Координаты y ключевых точек умножаются на 2,5: $(0; 2,5)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}; -2,5)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi; 2,5)$.
- Соединяем эти точки плавной кривой (косинусоидой) и повторяем ее с периодом $\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = 2,5 \cos 2x$ нужно взять график $y=\cos(x)$, сжать его в 2 раза по горизонтали (период станет $\pi$) и растянуть в 2,5 раза по вертикали (амплитуда станет 2,5). Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$: максимумы $(0; 2,5)$ и $(\pi; 2,5)$; минимум $(\frac{\pi}{2}; -2,5)$; нули в $x=\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$.

1. Анализ функции.
Это синусоида. Сравним ее с функцией $y = A \sin(kx)$.
- Амплитуда $|A|=|-3|=3$. Множитель -3 означает, что график функции $y=\sin(x)$ растянут в 3 раза вдоль оси Oy и затем отражен симметрично относительно оси Ox. Область значений функции: $E(y) = [-3, 3]$.
- Коэффициент при x равен $k=2$. Это означает, что график функции $y=\sin(x)$ сжат в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Построение графика.
- Строим график $y = \sin(x)$.
- Сжимаем его вдоль оси Ox в 2 раза, чтобы получить $y = \sin 2x$. Период станет $\pi$. Ключевые точки на $[0, \pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$, $(\pi, 0)$.
- Растягиваем его вдоль оси Oy в 3 раза, чтобы получить $y = 3 \sin 2x$. Амплитуда станет 3. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 3)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -3)$, $(\pi, 0)$.
- Отражаем полученный график относительно оси Ox, чтобы получить искомый график $y = -3 \sin 2x$. Максимумы становятся минимумами и наоборот. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, -3)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, 3)$, $(\pi, 0)$.
- Соединяем эти точки плавной кривой и повторяем с периодом $\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = -3 \sin 2x$ нужно взять график $y=\sin(x)$, сжать его в 2 раза по горизонтали (период станет $\pi$), растянуть в 3 раза по вертикали (амплитуда станет 3), а затем отразить относительно оси Ox. Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$: нули в $x=0, \frac{\pi}{2}, \pi$; минимум $(\frac{\pi}{4}, -3)$; максимум $(\frac{3\pi}{4}, 3)$.

1. Анализ функции.
Это косинусоида. Сравним ее с функцией $y = A \cos(kx)$.
- Амплитуда $A=2$. Это означает, что график функции $y=\cos(x)$ растянут в 2 раза вдоль оси Oy. Область значений функции: $E(y) = [-2, 2]$.
- Коэффициент при x равен $k=\frac{1}{3}$. Это означает, что график функции $y=\cos(x)$ растянут в 3 раза вдоль оси Ox. Период функции $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

2. Построение графика.
- Строим график основной функции $y = \cos(x)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Ox в 3 раза, чтобы получить график $y = \cos\frac{x}{3}$. Период станет $6\pi$. Координаты x ключевых точек умножаются на 3: $(0, 1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(3\pi, -1)$, $(\frac{9\pi}{2}, 0)$, $(6\pi, 1)$.
- Применяем растяжение вдоль оси Oy в 2 раза, чтобы получить искомый график $y = 2 \cos\frac{x}{3}$. Амплитуда станет 2. Координаты y ключевых точек умножаются на 2: $(0, 2)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(3\pi, -2)$, $(\frac{9\pi}{2}, 0)$, $(6\pi, 2)$.
- Соединяем эти точки плавной кривой (косинусоидой) и повторяем ее с периодом $6\pi$.

Ответ: Для построения графика функции $y = 2 \cos\frac{x}{3}$ нужно взять график $y=\cos(x)$, растянуть его в 3 раза по горизонтали (период станет $6\pi$) и в 2 раза по вертикали (амплитуда станет 2). Ключевые точки на одном периоде $[0, 6\pi]$: максимумы $(0, 2)$ и $(6\pi, 2)$; минимум $(3\pi, -2)$; нули в $x=\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$.