Номер 17.20, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.20. а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}(x - \pi)$;

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}(x + \pi)$.

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}(x - \pi)$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби $\sin x$ не может быть равен нулю. Следовательно, $x \neq k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|\sin x|$ в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Это неравенство выполняется на интервалах $(2k\pi, (2k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае множитель $\frac{|\sin x|}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$. Тогда функция принимает вид: $y = 1 \cdot (x - \pi) = x - \pi$.

2. Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Это неравенство выполняется на интервалах $((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае множитель $\frac{|\sin x|}{\sin x} = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$. Тогда функция принимает вид: $y = -1 \cdot (x - \pi) = \pi - x$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: Функция задается системой $y = \begin{cases} x - \pi, & \text{если } \sin x > 0 \\ \pi - x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$. Область определения функции: $x \neq k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}(x + \pi)$

Определим область определения функции. Знаменатель дроби $|\cos x|$ не может быть равен нулю, что эквивалентно условию $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|\cos x|$ в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Это неравенство выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае множитель $\frac{\cos x}{|\cos x|} = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$. Тогда функция принимает вид: $y = 1 \cdot (x + \pi) = x + \pi$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае множитель $\frac{\cos x}{|\cos x|} = \frac{\cos x}{-\cos x} = -1$. Тогда функция принимает вид: $y = -1 \cdot (x + \pi) = -x - \pi$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: Функция задается системой $y = \begin{cases} x + \pi, & \text{если } \cos x > 0 \\ -x - \pi, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$. Область определения функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.