Номер 17.14, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.14. Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} 3 \sin x, & \text{если } x < \frac{\pi}{2}, \\ 3x^3, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2}; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -2 \cos x, & \text{если } x < 0, \\ \frac{1}{2}x^4, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

а) $ y = \begin{cases} 3 \sin x, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ 3x^3, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases} $

Построение графика:

График этой функции состоит из двух частей.

1. Для $x < \frac{\pi}{2}$ (приблизительно $x < 1.57$) мы строим график функции $y = 3 \sin x$. Это синусоида, растянутая в 3 раза вдоль оси OY. Амплитуда колебаний равна 3, период $2\pi$. Ключевые точки на этом участке: $(0, 0)$, $(-\pi, 0)$, $(-\pi/2, -3)$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение функции стремится к $3 \sin(\frac{\pi}{2}) = 3$. Так как неравенство строгое ($x < \frac{\pi}{2}$), точка $(\frac{\pi}{2}, 3)$ на графике будет выколотой (незакрашенной).

2. Для $x \ge \frac{\pi}{2}$ мы строим график функции $y = 3x^3$. Это кубическая парабола, растянутая в 3 раза вдоль оси OY. График начинается в точке $x = \frac{\pi}{2}$. Найдем значение функции в этой точке: $y(\frac{\pi}{2}) = 3(\frac{\pi}{2})^3 = \frac{3\pi^3}{8} \approx \frac{3 \cdot 3.14^3}{8} \approx 11.59$. Точка $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi^3}{8})$ принадлежит графику и будет закрашенной. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

В точке $x=\frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как предел слева ($\lim_{x \to \pi/2^-} y = 3$) не равен значению функции в точке ($y(\pi/2) = \frac{3\pi^3}{8}$).

Свойства функции (чтение графика):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел $x$.

2. Область значений: Для $x < \frac{\pi}{2}$, значения $3 \sin x$ покрывают отрезок $[-3, 3]$. Для $x \ge \frac{\pi}{2}$, значения $3x^3$ покрывают промежуток $[\frac{3\pi^3}{8}, +\infty)$. Объединяя эти множества, получаем $E(y) = [-3, 3] \cup [\frac{3\pi^3}{8}, +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, \frac{\pi}{2})$ и $[\frac{\pi}{2}, +\infty)$. В точке $x=\frac{\pi}{2}$ терпит разрыв первого рода (скачок).

4. Нули функции: $y=0$ в следующих случаях:
- $3 \sin x = 0$ при $x < \frac{\pi}{2}$. Это выполняется при $x = \pi k$, где $k$ - целое число. Условию $x < \frac{\pi}{2}$ удовлетворяют $k \le 0$. Нули: $x = 0, -\pi, -2\pi, \dots$
- $3x^3 = 0$ при $x \ge \frac{\pi}{2}$. Это уравнение имеет корень $x=0$, который не входит в данный промежуток.
Итого, нули функции: $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, $k \le 0$.

5. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$: при $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{\pi}{2}, +\infty) = (0, +\infty)$, а также на интервалах вида $(-2\pi, -\pi), (-4\pi, -3\pi), \dots$ (то есть $(2\pi k, \pi(1+2k))$ при $k \le -1$).
- $y < 0$: на интервалах вида $(-\pi, 0), (-3\pi, -2\pi), \dots$ (то есть $(\pi(1+2k), 2\pi(k+1))$ при $k \le -1$).

6. Монотонность и экстремумы:
- Функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{\pi}{2}+2\pi k)$ при $k \le 0$ (включая $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$) и на $[\frac{\pi}{2}, +\infty)$.
- Функция убывает на интервалах $( \frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{3\pi}{2}+2\pi k)$ при $k \le -1$.
- Точки локального максимума: $x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{2}, \dots$ ($x = -\frac{3\pi}{2}+2\pi k, k \le 0$), в них $y_{max}=3$.
- Точки локального минимума: $x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, \dots$ ($x = -\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \le 0$), в них $y_{min}=-3$.

7. Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения симметрична относительно нуля, но условия $y(-x)=y(x)$ или $y(-x)=-y(x)$ не выполняются для всех $x$. Например, $y(\pi) = 3\pi^3$, а $y(-\pi) = 3 \sin(-\pi) = 0$.

8. Периодичность: Функция непериодическая из-за наличия неограниченно возрастающей части $y=3x^3$.

Ответ: График функции представляет собой часть синусоиды $y=3\sin x$ на $(-\infty, \frac{\pi}{2})$ и часть кубической параболы $y=3x^3$ на $[\frac{\pi}{2}, +\infty)$, с разрывом в точке $x=\frac{\pi}{2}$. Основные свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = [-3, 3] \cup [\frac{3\pi^3}{8}, +\infty)$, нули при $x=\pi k, k \le 0$, функция общего вида, непериодическая.

б) $ y = \begin{cases} -2 \cos x, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2}x^4, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $

Построение графика:

График этой функции также состоит из двух частей.

1. Для $x < 0$ мы строим график функции $y = -2 \cos x$. Это график косинуса, отраженный относительно оси OX и растянутый в 2 раза вдоль оси OY. Амплитуда равна 2, период $2\pi$. Ключевые точки на этом участке: $(-\pi/2, 0)$, $(-\pi, 2)$, $(-3\pi/2, 0)$, $(-2\pi, -2)$. В точке $x = 0$ значение функции стремится к $-2 \cos(0) = -2$. Так как неравенство строгое ($x < 0$), точка $(0, -2)$ на графике будет выколотой.

2. Для $x \ge 0$ мы строим график функции $y = \frac{1}{2}x^4$. Это график степенной функции, похожий на параболу $y=x^2$, но более плоский у нуля и круче возрастающий при $x>1$. График начинается в точке $x = 0$. Значение функции в этой точке: $y(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^4 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику и будет закрашенной. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как предел слева ($\lim_{x \to 0^-} y = -2$) не равен значению функции в точке ($y(0) = 0$).

Свойства функции (чтение графика):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Для $x < 0$, значения $-2 \cos x$ покрывают отрезок $[-2, 2]$. Для $x \ge 0$, значения $\frac{1}{2}x^4$ покрывают промежуток $[0, +\infty)$. Объединяя эти множества, получаем $E(y) = [-2, 2] \cup [0, +\infty) = [-2, +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$. В точке $x=0$ терпит разрыв первого рода (скачок).

4. Нули функции: $y=0$ в следующих случаях:
- $-2 \cos x = 0$ при $x < 0$. Это выполняется при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число. Условию $x < 0$ удовлетворяют $k \le -1$. Нули: $x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \dots$
- $\frac{1}{2}x^4 = 0$ при $x \ge 0$. Корень $x=0$.
Итого, нули функции: $x=0$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, $k \le -1$.

5. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$: при $x \in (0, +\infty)$, а также на интервалах, где $\cos x < 0$ для $x < 0$, т.е. $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}), (-\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}), \dots$
- $y < 0$: на интервалах, где $\cos x > 0$ для $x < 0$, т.е. $(-\frac{\pi}{2}, 0), (-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}), \dots$

6. Монотонность и экстремумы:
- Функция возрастает на интервалах $(-2\pi, -\pi), (-4\pi, -3\pi), \dots$ (где $\sin x > 0$) и на $[0, +\infty)$.
- Функция убывает на интервалах $(-\pi, 0), (-3\pi, -2\pi), \dots$ (где $\sin x < 0$).
- Точки локального максимума: $x = -\pi, -3\pi, \dots$ ($x = -\pi+2\pi k, k \le 0$), в них $y_{max}=2$.
- Точки локального минимума: $x = -2\pi, -4\pi, \dots$ ($x = 2\pi k, k < 0$), в них $y_{min}=-2$. Также точка $(0,0)$ является точкой локального минимума.

7. Четность, нечетность: Функция общего вида. Область определения симметрична, но $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$. Например, $y(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^4 = 8$, а $y(-2) = -2 \cos(-2) = -2 \cos(2) \approx 0.83$.

8. Периодичность: Функция непериодическая из-за наличия части $y=\frac{1}{2}x^4$.

Ответ: График функции представляет собой часть косинусоиды $y=-2\cos x$ на $(-\infty, 0)$ и часть степенной функции $y=\frac{1}{2}x^4$ на $[0, +\infty)$, с разрывом в точке $x=0$. Основные свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = [-2, +\infty)$, нули при $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k \le -1$, функция общего вида, непериодическая.