Номер 17.8, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

17.8. а) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = -3 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right);$

в) $y = -\sin \left(x + \frac{2\pi}{3}\right);$

г) $y = 1,5 \cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right).$

а) $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.
1. Растяжение вдоль оси OY. Сначала строим график функции $y = 2 \sin(x)$. Для этого график $y = \sin(x)$ нужно растянуть от оси OX в 2 раза. Амплитуда колебаний увеличится до 2, а область значений станет $[-2, 2]$.
2. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Затем, для получения графика $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, необходимо сдвинуть график функции $y = 2 \sin(x)$ вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$ вправо, так как вычитается положительное число.

Таким образом, последовательность построения следующая:
$y = \sin(x) \xrightarrow{\text{растяжение вдоль OY в 2 раза}} y = 2\sin(x) \xrightarrow{\text{сдвиг вправо на } \frac{\pi}{3}} y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin(x)$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси ординат и последующего сдвига на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси абсцисс.

б) $y = -3 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Для построения графика функции $y = -3 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.
1. Растяжение вдоль оси OY. Сначала растягиваем график $y = \cos(x)$ от оси OX в 3 раза, получая график $y = 3\cos(x)$. Амплитуда становится равной 3, область значений $[-3, 3]$.
2. Отражение относительно оси OX. Знак "минус" перед функцией означает, что график нужно симметрично отразить относительно оси OX. Получаем график функции $y = -3\cos(x)$.
3. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Выражение $x + \frac{\pi}{6}$ можно записать как $x - (-\frac{\pi}{6})$. Это означает, что график функции $y = -3\cos(x)$ нужно сдвинуть вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$ влево.

Таким образом, последовательность построения следующая:
$y = \cos(x) \xrightarrow{\text{растяжение вдоль OY в 3 раза}} y = 3\cos(x) \xrightarrow{\text{отражение по OX}} y = -3\cos(x) \xrightarrow{\text{сдвиг влево на } \frac{\pi}{6}} y = -3\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения в 3 раза вдоль оси ординат, последующего симметричного отражения относительно оси абсцисс и сдвига на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси абсцисс.

в) $y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$

Для построения графика функции $y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.
1. Отражение относительно оси OX. Знак "минус" перед функцией означает, что график $y = \sin(x)$ нужно симметрично отразить относительно оси OX. Получаем график функции $y = -\sin(x)$. Амплитуда остается равной 1.
2. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Выражение $x + \frac{2\pi}{3}$ означает, что график функции $y = -\sin(x)$ нужно сдвинуть вдоль оси OX на $\frac{2\pi}{3}$ влево.

Таким образом, последовательность построения следующая:
$y = \sin(x) \xrightarrow{\text{отражение по OX}} y = -\sin(x) \xrightarrow{\text{сдвиг влево на } \frac{2\pi}{3}} y = -\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на $\frac{2\pi}{3}$ влево вдоль оси абсцисс.

г) $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$

Для построения графика функции $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.
1. Растяжение вдоль оси OY. Сначала строим график функции $y = 1,5 \cos(x)$. Для этого график $y = \cos(x)$ нужно растянуть от оси OX в 1,5 раза. Амплитуда колебаний увеличится до 1,5, а область значений станет $[-1,5; 1,5]$.
2. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Затем, для получения графика $y = 1,5 \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$, необходимо сдвинуть график функции $y = 1,5 \cos(x)$ вдоль оси OX на $\frac{2\pi}{3}$ вправо.

Таким образом, последовательность построения следующая:
$y = \cos(x) \xrightarrow{\text{растяжение вдоль OY в 1,5 раза}} y = 1,5\cos(x) \xrightarrow{\text{сдвиг вправо на } \frac{2\pi}{3}} y = 1,5\cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения в 1,5 раза вдоль оси ординат и последующего сдвига на $\frac{2\pi}{3}$ вправо вдоль оси абсцисс.