Номер 17.6, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -3 \sin x$:

а) на луче $[0; +\infty)$;

б) на открытом луче $(-\infty; \frac{\pi}{2})$;

в) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$;

г) на открытом луче $(-\infty; 0).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -3 \sin x$ на заданных промежутках, сначала определим её общую область значений.

Функция $\sin x$ принимает значения в пределах отрезка $[-1, 1]$, то есть:
$-1 \le \sin x \le 1$

Умножая это двойное неравенство на -3, мы меняем знаки неравенства на противоположные:
$(-3) \cdot 1 \le -3 \sin x \le (-3) \cdot (-1)$
$-3 \le y \le 3$

Таким образом, область значений функции $y = -3 \sin x$ — это отрезок $[-3, 3]$.

• Наибольшее значение функции, равное 3, достигается, когда $\sin x = -1$. Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
• Наименьшее значение функции, равное -3, достигается, когда $\sin x = 1$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Теперь проанализируем каждый из заданных промежутков.

а) на луче $[0; +\infty)$
Нам необходимо проверить, существуют ли на луче $[0; +\infty)$ точки, в которых функция достигает своих глобальных максимума и минимума.
Для наибольшего значения $y = 3$ (когда $\sin x = -1$), точки имеют вид $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли среди них те, что удовлетворяют условию $x \ge 0$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge 0 \implies 2\pi n \ge \frac{\pi}{2} \implies n \ge \frac{1}{4}$.
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию, — $n=1$. При $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Следовательно, наибольшее значение достигается.
Для наименьшего значения $y = -3$ (когда $\sin x = 1$), точки имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим условие $x \ge 0$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge 0 \implies 2\pi n \ge -\frac{\pi}{2} \implies n \ge -\frac{1}{4}$.
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию, — $n=0$. При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Следовательно, наименьшее значение также достигается.
Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -3.

б) на открытом луче $(-\infty; \frac{\pi}{2})$
Проверим, достигаются ли на луче $(-\infty; \frac{\pi}{2})$ глобальные максимум и минимум.
Для наибольшего значения $y=3$ (при $\sin x = -1$), ищем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x < \frac{\pi}{2}$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n < \pi \implies n < \frac{1}{2}$.
Подходит любое целое $n \le 0$. Например, при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, что входит в данный промежуток. Наибольшее значение достигается.
Для наименьшего значения $y=-3$ (при $\sin x = 1$), ищем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x < \frac{\pi}{2}$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n < 0 \implies n < 0$.
Подходит любое целое $n \le -1$. Например, при $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$, что входит в данный промежуток. Наименьшее значение достигается.
Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -3.

в) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$
Проверим, достигаются ли на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$ глобальные максимум и минимум.
Для наибольшего значения $y=3$ (при $\sin x = -1$), ищем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x \ge \frac{\pi}{4}$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge \frac{\pi}{4} \implies 2\pi n \ge \frac{3\pi}{4} \implies n \ge \frac{3}{8}$.
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее условию, — $n=1$. При $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$, что больше $\frac{\pi}{4}$. Наибольшее значение достигается.
Для наименьшего значения $y=-3$ (при $\sin x = 1$), ищем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x \ge \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge \frac{\pi}{4} \implies 2\pi n \ge -\frac{\pi}{4} \implies n \ge -\frac{1}{8}$.
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее условию, — $n=0$. При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$, что больше $\frac{\pi}{4}$. Наименьшее значение достигается.
Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -3.

г) на открытом луче $(-\infty; 0)$
Проверим, достигаются ли на луче $(-\infty; 0)$ глобальные максимум и минимум.
Для наибольшего значения $y=3$ (при $\sin x = -1$), ищем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x < 0$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 0 \implies 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies n < \frac{1}{4}$.
Подходит любое целое $n \le 0$. Например, при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, что входит в данный промежуток. Наибольшее значение достигается.
Для наименьшего значения $y=-3$ (при $\sin x = 1$), ищем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ такие, что $x < 0$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 0 \implies 2\pi n < -\frac{\pi}{2} \implies n < -\frac{1}{4}$.
Подходит любое целое $n \le -1$. Например, при $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$, что входит в данный промежуток. Наименьшее значение достигается.
Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -3.