Номер 16.67, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

16.67. a) $y = \frac{1}{\sin x}$;

б) $y = \frac{1}{\cos x}$.

a) Построим график функции $y = \frac{1}{\sin x}$. Эта функция также называется косекансом и обозначается $y = \csc x$.

Для построения графика проанализируем свойства функции:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Прямые $x = \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика.
• Область значений: Известно, что для любого $x$ значение синуса находится в пределах $-1 \le \sin x \le 1$. Если $0 < \sin x \le 1$, то $y = \frac{1}{\sin x} \ge 1$. Если $-1 \le \sin x < 0$, то $y = \frac{1}{\sin x} \le -1$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• Периодичность: Функция $y = \sin x$ является периодической с основным периодом $2\pi$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{\sin x}$ также периодическая с периодом $2\pi$. Достаточно построить график на любом промежутке длиной $2\pi$, например на $(0, 2\pi)$, а затем продолжить его на всю числовую ось.
• Четность/нечетность: Проверим значение функции в точке $-x$: $y(-x) = \frac{1}{\sin(-x)} = \frac{1}{-\sin x} = - \frac{1}{\sin x} = -y(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Экстремумы: Точки локального минимума функции $y = \frac{1}{\sin x}$ достигаются при $y=1$. Это происходит, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки локального максимума достигаются при $y=-1$. Это происходит, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ (или $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$), $k \in \mathbb{Z}$.

Построение графика:

1. На координатной плоскости проведем вертикальные асимптоты $x=0, x=\pi, x=2\pi, x=-\pi, \dots$
2. Вспомогательно можно нарисовать график $y = \sin x$.
3. На интервале $(0, \pi)$, где $\sin x > 0$, график $y = \frac{1}{\sin x}$ будет расположен в верхней полуплоскости. В точке $x=\frac{\pi}{2}$ функция достигает своего минимума $y=1$. При приближении $x$ к $0$ справа и к $\pi$ слева, значения $y$ стремятся к $+\infty$.
4. На интервале $(\pi, 2\pi)$, где $\sin x < 0$, график будет расположен в нижней полуплоскости. В точке $x=\frac{3\pi}{2}$ функция достигает своего максимума $y=-1$. При приближении $x$ к $\pi$ справа и к $2\pi$ слева, значения $y$ стремятся к $-\infty$.
5. Повторим полученные ветви графика с периодом $2\pi$.

График функции $y = \frac{1}{\sin x}$ (косекансоида):

Ответ: График функции $y=\frac{1}{\sin x}$ (косекансоида) построен и представлен выше.

б) Построим график функции $y = \frac{1}{\cos x}$. Эта функция также называется секансом и обозначается $y = \sec x$.

Проанализируем свойства функции по аналогии с предыдущим пунктом:

• Область определения: $\cos x \neq 0$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика.
• Область значений: Аналогично функции косеканса, область значений: $E(y) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• Периодичность: Функция $y = \cos x$ имеет период $2\pi$, следовательно, и функция $y = \frac{1}{\cos x}$ периодическая с периодом $2\pi$.
• Четность/нечетность: Проверим значение функции в точке $-x$: $y(-x) = \frac{1}{\cos(-x)} = \frac{1}{\cos x} = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Экстремумы: Точки локального минимума ($y=1$) достигаются при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки локального максимума ($y=-1$) достигаются при $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Построение графика:

Заметим, что $\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$. Поэтому $y = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\sin(x + \frac{\pi}{2})}$. Это означает, что график функции $y=\frac{1}{\cos x}$ можно получить из графика функции $y=\frac{1}{\sin x}$ сдвигом влево вдоль оси ОХ на $\frac{\pi}{2}$.

1. Проведем вертикальные асимптоты $x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{3\pi}{2}, x=-\frac{\pi}{2}, \dots$
2. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где $\cos x > 0$, график находится в верхней полуплоскости. В точке $x=0$ функция имеет минимум $y=1$. При приближении $x$ к границам интервала, $y$ стремится к $+\infty$.
3. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, где $\cos x < 0$, график находится в нижней полуплоскости. В точке $x=\pi$ функция имеет максимум $y=-1$. При приближении $x$ к границам интервала, $y$ стремится к $-\infty$.
4. Повторим полученные ветви графика с периодом $2\pi$.

График функции $y = \frac{1}{\cos x}$ (секансоида):

Ответ: График функции $y=\frac{1}{\cos x}$ (секансоида) построен и представлен выше.