Номер 16.64, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.64. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x + 2\pi, \text{ если } x \le -\pi, \\ \sin x, \text{ если } -\pi < x \le 0, \\ -2x, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

a) Вычислите: $f(-\pi - 2), f\left(-\frac{\pi}{6}\right), f(2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

a) Вычислите: $f(-\pi - 2), f(-\frac{\pi}{6}), f(2)$

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из трех интервалов, указанных в определении функции, принадлежит аргумент $x$.

1. Вычислим $f(-\pi - 2)$.
   Так как $2 > 0$, то $-\pi - 2 < -\pi$. Следовательно, аргумент $x = -\pi - 2$ принадлежит промежутку $x \le -\pi$.
   Для этого промежутка функция задается формулой $f(x) = 2x + 2\pi$.
   Подставляем значение аргумента:
   $f(-\pi - 2) = 2(-\pi - 2) + 2\pi = -2\pi - 4 + 2\pi = -4$.

2. Вычислим $f(-\frac{\pi}{6})$.
   Значение аргумента $x = -\frac{\pi}{6}$ удовлетворяет неравенству $-\pi < -\frac{\pi}{6} \le 0$.
   Для этого промежутка функция задается формулой $f(x) = \sin x$.
   Подставляем значение аргумента:
   $f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -0.5$.

3. Вычислим $f(2)$.
   Значение аргумента $x=2$ удовлетворяет неравенству $x > 0$.
   Для этого промежутка функция задается формулой $f(x) = -2x$.
   Подставляем значение аргумента:
   $f(2) = -2 \cdot 2 = -4$.

Ответ: $f(-\pi - 2) = -4$, $f(-\frac{\pi}{6}) = -0.5$, $f(2) = -4$.

б) постройте график функции $y = f(x)$

График функции $y=f(x)$ состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем промежутке:

• На промежутке $(-\infty, -\pi]$ строим график функции $y = 2x + 2\pi$. Это луч прямой, проходящий через точки $(-\pi, 0)$ и, например, $(-2\pi, -2\pi)$. Точка $(-\pi, 0)$ является концом луча и принадлежит графику.

• На промежутке $(-\pi, 0]$ строим график функции $y = \sin x$. Это часть синусоиды, которая проходит через точки $(-\pi, 0)$ (начальная точка, не принадлежит графику), $(-\frac{\pi}{2}, -1)$ (точка минимума) и $(0, 0)$ (конечная точка, принадлежит графику).

• На промежутке $(0, \infty)$ строим график функции $y = -2x$. Это луч прямой, исходящий из точки $(0, 0)$ (начальная точка, не принадлежит графику) и проходящий, например, через точку $(2, -4)$.

Так как $\lim_{x \to -\pi^+} \sin x = \sin(-\pi) = 0$ и $f(-\pi) = 2(-\pi) + 2\pi = 0$, а также $\lim_{x \to 0^+} (-2x) = 0$ и $f(0) = \sin(0) = 0$, то функция является непрерывной в точках $x = -\pi$ и $x = 0$. Таким образом, график функции является непрерывной линией без разрывов.

График функции $y = f(x)$:

Ответ: График функции представлен на рисунке выше.

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

Основные свойства функции $y = f(x)$, определенные на основе ее графика и аналитического задания:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел $x$.

• Область значений: $E(f) = (-\infty; 0]$. Все значения функции не превышают 0.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения.

• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = -\pi$ и $x = 0$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\pi) \cup (-\pi, 0) \cup (0, \infty)$.

  • $f(x) = 0$ при $x = -\pi, x=0$.

• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):

  • Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\pi]$ и $[-\frac{\pi}{2}, 0]$.

  • Функция убывает на промежутках $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ и $[0, +\infty)$.

• Точки экстремума:

  • $x = -\pi$ — точка локального максимума, $f(-\pi) = 0$.

  • $x = -\frac{\pi}{2}$ — точка локального минимума, $f(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

  • $x = 0$ — точка локального максимума, $f(0) = 0$.

• Наибольшее и наименьшее значения: Наибольшее значение функции равно 0. Наименьшего значения функции не существует, так как функция не ограничена снизу.

• Четность и нечетность: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее область определения симметрична относительно нуля, но не выполняются условия $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$. Например, $f(2) = -4$, а $f(-2) = \sin(-2) = -\sin 2 \ne \pm 4$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.