Номер 16.65, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.65. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi, \\ -(x - \pi)^2, & \text{если } x > \pi. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-3), f\left(\frac{\pi}{2}\right), f(2\pi - 3);$

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi, \\ -(x - \pi)^2, & \text{если } x > \pi. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-3)$, $f(\frac{\pi}{2})$, $f(2\pi - 3)$;

Для вычисления значения функции в заданной точке необходимо сначала определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, а затем использовать соответствующую формулу.

• Вычисление $f(-3)$.
  Аргумент $x = -3$. Так как $-3 < 0$, мы используем первую формулу: $f(x) = -x^2$.
  $f(-3) = -(-3)^2 = -9$.

• Вычисление $f(\frac{\pi}{2})$.
  Аргумент $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi$ (поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$), мы используем вторую формулу: $f(x) = \sin x$.
  $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

• Вычисление $f(2\pi - 3)$.
  Аргумент $x = 2\pi - 3$. Оценим его значение: $2\pi - 3 \approx 2 \cdot 3.14 - 3 = 6.28 - 3 = 3.28$. Сравним это значение с $\pi \approx 3.14$. Так как $3.28 > 3.14$, то $2\pi - 3 > \pi$. Следовательно, мы используем третью формулу: $f(x) = -(x - \pi)^2$.
  $f(2\pi - 3) = -((2\pi - 3) - \pi)^2 = -(\pi - 3)^2 = -(9 - 6\pi + \pi^2) = -9 + 6\pi - \pi^2$.

Ответ: $f(-3) = -9$; $f(\frac{\pi}{2}) = 1$; $f(2\pi - 3) = -(\pi - 3)^2$.

б) постройте график функции $y = f(x)$;

График функции $y = f(x)$ состоит из трех частей, каждая из которых соответствует своему интервалу.

1. На интервале $(-\infty, 0)$ функция задана формулой $y = -x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Точка $(0, 0)$ не включается в эту часть графика (является "выколотой").

2. На отрезке $[0, \pi]$ функция задана формулой $y = \sin x$. Это одна "волна" синусоиды, начинающаяся в точке $(0, 0)$, достигающая максимума в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и заканчивающаяся в точке $(\pi, 0)$. Обе конечные точки отрезка, $(0, 0)$ и $(\pi, 0)$, включаются в график.

3. На интервале $(\pi, +\infty)$ функция задана формулой $y = -(x - \pi)^2$. Это ветвь параболы, смещенной вправо на $\pi$ единиц, с ветвями, направленными вниз. Вершина этой параболы находится в точке $(\pi, 0)$. Точка $(\pi, 0)$ не включается в эту часть графика.

Соединим эти три части. В точке $x=0$ график непрерывен, так как левосторонний предел $\lim_{x\to 0^-}(-x^2) = 0$ совпадает со значением функции $f(0) = \sin(0) = 0$. Аналогично, в точке $x=\pi$ график также непрерывен, поскольку правосторонний предел $\lim_{x\to \pi^+}(-(x - \pi)^2) = 0$ совпадает со значением $f(\pi) = \sin(\pi) = 0$.

График функции $y = f(x)$ выглядит следующим образом:

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

"Прочитать график" означает описать основные свойства функции на основе ее графика и аналитического задания.

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.

• Область значений: На интервале $(-\infty, 0)$ значения функции принадлежат $(-\infty, 0)$. На отрезке $[0, \pi]$ значения принадлежат $[0, 1]$. На интервале $(\pi, +\infty)$ значения снова принадлежат $(-\infty, 0)$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = (-\infty; 1]$.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения, т.е. при $x \in \mathbb{R}$.

• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=0$ и $x=\pi$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (0; \pi)$.
  $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\pi; +\infty)$.

• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
  Функция возрастает на интервале $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$.
  Функция убывает на интервале $[\frac{\pi}{2}, +\infty)$.

• Точки экстремума и экстремумы:
  В точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция достигает своего максимума. Это точка локального и глобального максимума.
  $x_{max} = \frac{\pi}{2}$, $y_{max} = f(\frac{\pi}{2}) = 1$.
  Точек минимума у функции нет, так как она уходит в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$.

• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси $Oy$, ни относительно начала координат. Например, $f(-3) = -9$, а $f(3) = \sin(3) \approx 0.14$, что не удовлетворяет условиям $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$.

• Периодичность: Функция не является периодической.

Ответ: Свойства функции: 1. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. $E(f) = (-\infty; 1]$. 3. Непрерывна на $\mathbb{R}$. 4. Нули: $x=0, x=\pi$. 5. $f(x)>0$ при $x \in (0; \pi)$; $f(x)<0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\pi; +\infty)$. 6. Возрастает на $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$, убывает на $[\frac{\pi}{2}, +\infty)$. 7. $x_{max} = \frac{\pi}{2}$, $y_{max} = 1$. Точек минимума нет. 8. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная). 9. Непериодическая.