Номер 16.58, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.58. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \sin x, \text{ если } -\pi \le x \le 0, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

а) Вычислите: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(\pi^2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а)

Чтобы вычислить значения функции в заданных точках, нужно определить, для какого интервала выполняется условие, и применить соответствующую формулу из определения функции.

• Для вычисления $f(-\frac{\pi}{2})$: аргумент $x = -\frac{\pi}{2}$ принадлежит промежутку $[-\pi, 0]$, так как $-\pi \le -\frac{\pi}{2} \le 0$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = \sin x$.
  $f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
• Для вычисления $f(0)$: аргумент $x = 0$ принадлежит промежутку $[-\pi, 0]$. Используем первую формулу: $f(x) = \sin x$.
  $f(0) = \sin(0) = 0$.
• Для вычисления $f(1)$: аргумент $x = 1$ принадлежит промежутку $x > 0$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = \sqrt{x}$.
  $f(1) = \sqrt{1} = 1$.
• Для вычисления $f(\pi^2)$: аргумент $x = \pi^2$ принадлежит промежутку $x > 0$ (поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\pi^2 \approx 9.87 > 0$). Используем вторую формулу: $f(x) = \sqrt{x}$.
  $f(\pi^2) = \sqrt{\pi^2} = \pi$.

Ответ: $f(-\frac{\pi}{2}) = -1$; $f(0) = 0$; $f(1) = 1$; $f(\pi^2) = \pi$.

б)

График функции $y = f(x)$ строится из двух частей:

1. На отрезке $[-\pi, 0]$ график совпадает с графиком функции $y = \sin x$. Это одна отрицательная полуволна синусоиды, которая начинается в точке $(-\pi, 0)$, достигает минимума в точке $(-\frac{\pi}{2}, -1)$ и заканчивается в начале координат $(0, 0)$.
2. На интервале $(0, +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$ и $(\pi^2, \pi)$.

Поскольку значение функции в точке $x=0$ по первой формуле равно $\sin(0) = 0$, и предел функции при $x \to 0$ справа по второй формуле равен $\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} = 0$, обе части графика соединяются в точке $(0, 0)$, и функция является непрерывной.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

в)

Основные свойства функции $y = f(x)$, прочитанные по её графику:

• Область определения: $D(f) = [-\pi; +\infty)$.

• Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.

• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как её область определения не симметрична относительно начала координат.

• Нули функции (точки, где $f(x)=0$): $x = -\pi$ и $x = 0$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
  • $f(x) < 0$ при $x \in (-\pi; 0)$.

• Монотонность функции:

  • функция убывает на отрезке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$;
  • функция возрастает на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; +\infty)$.

• Экстремумы функции:

  • $x_{min} = -\frac{\pi}{2}$ — точка минимума;
  • $y_{min} = f(-\frac{\pi}{2}) = -1$ — наименьшее значение функции.
  • Наибольшего значения функция не имеет, так как она неограниченно возрастает при $x \to +\infty$.

• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения $[-\pi; +\infty)$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.