Номер 16.54, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.54. a) $ \sin x > \frac{3x}{5\pi} $;

б) $ \cos x \le \frac{9x}{2\pi} - 1 $.

a) Решим неравенство $\sin x > \frac{3x}{5\pi}$.

Этот тип неравенств, где сравниваются тригонометрическая и линейная функции, удобно решать графическим методом. Рассмотрим две функции: $y_1 = \sin x$ и $y_2 = \frac{3x}{5\pi}$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1$ находится выше графика функции $y_2$.

Функция $y_1 = \sin x$ — это синусоида, значения которой лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Функция $y_2 = \frac{3x}{5\pi}$ — это прямая линия, проходящая через начало координат $(0, 0)$ с положительным угловым коэффициентом $k = \frac{3}{5\pi}$.

Для решения найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $\sin x = \frac{3x}{5\pi}$.

Очевидно, что $x=0$ является решением, так как $\sin 0 = 0$ и $\frac{3 \cdot 0}{5\pi} = 0$. В точке $x=0$ достигается равенство, поэтому она не входит в решение строгого неравенства.

Попробуем подобрать другие решения, проверив характерные точки.Пусть $x = \frac{5\pi}{6}$.Тогда $y_1 = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.Значение линейной функции в этой точке: $y_2 = \frac{3 \cdot (5\pi/6)}{5\pi} = \frac{15\pi/6}{5\pi} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.Следовательно, $x = \frac{5\pi}{6}$ — точка пересечения.

Проверим симметричную точку $x = -\frac{5\pi}{6}$.Тогда $y_1 = \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.Значение линейной функции: $y_2 = \frac{3 \cdot (-5\pi/6)}{5\pi} = -\frac{1}{2}$.Следовательно, $x = -\frac{5\pi}{6}$ — тоже точка пересечения.

Анализ поведения функций показывает, что других точек пересечения нет. Например, при $x > \frac{5\pi}{3}$ значение прямой $y_2 > 1$, а при $x < -\frac{5\pi}{3}$ значение прямой $y_2 < -1$, в то время как значения $\sin x$ всегда лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Таким образом, точки $x = -\frac{5\pi}{6}$, $x = 0$ и $x = \frac{5\pi}{6}$ делят числовую ось на четыре интервала. Определим знак неравенства на каждом из них, взяв по одной пробной точке.

• Интервал $(-\infty, -\frac{5\pi}{6})$. Возьмем $x = -\pi$. $\sin(-\pi) = 0$. $\frac{3(-\pi)}{5\pi} = -\frac{3}{5}$. Неравенство $0 > -\frac{3}{5}$ верно.
• Интервал $(-\frac{5\pi}{6}, 0)$. Возьмем $x = -\frac{\pi}{2}$. $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. $\frac{3(-\pi/2)}{5\pi} = -\frac{3}{10}$. Неравенство $-1 > -\frac{3}{10}$ неверно.
• Интервал $(0, \frac{5\pi}{6})$. Возьмем $x = \frac{\pi}{2}$. $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. $\frac{3(\pi/2)}{5\pi} = \frac{3}{10}$. Неравенство $1 > \frac{3}{10}$ верно.
• Интервал $(\frac{5\pi}{6}, \infty)$. Возьмем $x = \pi$. $\sin(\pi) = 0$. $\frac{3\pi}{5\pi} = \frac{3}{5}$. Неравенство $0 > \frac{3}{5}$ неверно.

Объединяя интервалы, где неравенство выполняется, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5\pi}{6}) \cup (0, \frac{5\pi}{6})$.

б) Решим неравенство $\cos x \le \frac{9x}{2\pi} - 1$.

Для решения этого неравенства рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - \left(\frac{9x}{2\pi} - 1\right) = \cos x - \frac{9x}{2\pi} + 1$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых $h(x) \le 0$.

Сначала найдем корни уравнения $h(x) = 0$, то есть точки, в которых $\cos x = \frac{9x}{2\pi} - 1$.

Проверим значение $x = \frac{\pi}{3}$.$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.$\frac{9(\pi/3)}{2\pi} - 1 = \frac{3\pi}{2\pi} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.Поскольку левая и правая части равны, $x = \frac{\pi}{3}$ является корнем уравнения $h(x)=0$.

Теперь исследуем поведение функции $h(x)$ с помощью ее производной:$h'(x) = (\cos x - \frac{9x}{2\pi} + 1)' = -\sin x - \frac{9}{2\pi}$.

Оценим значение производной. Функция $-\sin x$ принимает значения в отрезке $[-1, 1]$. Константа $\frac{9}{2\pi}$ больше 1, так как $9 > 2\pi$ (поскольку $2\pi \approx 6.28$).Тогда максимальное значение производной $h'(x)$ равно:$h'(x)_{max} = 1 - \frac{9}{2\pi}$.Так как $\frac{9}{2\pi} > 1$, то $1 - \frac{9}{2\pi} < 0$.

Поскольку максимальное значение производной $h'(x)$ отрицательно, то $h'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси.

Строго убывающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Мы уже нашли этот единственный корень $x = \frac{\pi}{3}$.

Так как функция $h(x)$ строго убывает:

• при $x < \frac{\pi}{3}$ будет выполняться $h(x) > h(\frac{\pi}{3}) = 0$.
• при $x > \frac{\pi}{3}$ будет выполняться $h(x) < h(\frac{\pi}{3}) = 0$.
• при $x = \frac{\pi}{3}$ будет $h(x) = 0$.

Нам нужно решить неравенство $h(x) \le 0$. Это условие выполняется для всех $x$, которые не меньше $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3}, +\infty)$.