Номер 16.47, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Функции у = sin x, y = cos x, их свойства и графики. Глава 3. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 16.47, страница 107.

Решите графически уравнение:

16.47. а) $cos x = x + \frac{\pi}{2}$;

б) $-cos x = 3x - 1$;

в) $cos x = 2x + 1$;

г) $cos x = -x + \frac{\pi}{2}$.

а) Чтобы решить уравнение $ \cos x = x + \frac{\pi}{2} $ графически, необходимо построить графики функций $y = \cos x$ и $y = x + \frac{\pi}{2}$ в одной системе координат и найти абсциссы их точек пересечения.

График функции $y = \cos x$ — это стандартная косинусоида, значения которой лежат в пределах от -1 до 1. График функции $y = x + \frac{\pi}{2}$ — это прямая линия с угловым коэффициентом 1, проходящая через точки $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(0, \frac{\pi}{2})$.

Построим эскизы графиков. Проверим, является ли точка $x = -\frac{\pi}{2}$ точкой пересечения.
Для $y = \cos x$: $y = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
Для $y = x + \frac{\pi}{2}$: $y = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Так как значения $y$ совпали, графики пересекаются в точке с абсциссой $x = -\frac{\pi}{2}$.

Чтобы определить, есть ли другие решения, рассмотрим производные обеих функций. Производная от $\cos x$ равна $-\sin x$. В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ она равна $-\sin(-\frac{\pi}{2}) = 1$. Угловой коэффициент прямой $y = x + \frac{\pi}{2}$ также равен 1. Это означает, что прямая является касательной к графику косинуса в точке их пересечения. Рассмотрим функцию $h(x) = x + \frac{\pi}{2} - \cos x$. Её производная $h'(x) = 1 + \sin x \ge 0$ для всех $x$, причём равенство нулю достигается лишь в изолированных точках. Следовательно, функция $h(x)$ строго возрастает, а значит, уравнение $h(x)=0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = -\frac{\pi}{2}$ — единственное решение.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

б) Преобразуем уравнение к виду $\cos x = 1 - 3x$. Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = 1 - 3x$.

График $y = \cos x$ — косинусоида. График $y = 1 - 3x$ — прямая линия с угловым коэффициентом -3, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.

Построим эскизы графиков. Проверим точку $x = 0$.
Для $y = \cos x$: $y = \cos(0) = 1$.
Для $y = 1 - 3x$: $y = 1 - 3(0) = 1$.
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = 0$.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - (1 - 3x) = \cos x + 3x - 1$. Её производная $h'(x) = -\sin x + 3$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $2 \le -\sin x + 3 \le 4$. Поскольку $h'(x) > 0$ для всех $x$, функция $h(x)$ является строго возрастающей. Следовательно, она может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Таким образом, $x=0$ является единственным решением уравнения.
Ответ: $x = 0$.

в) Для графического решения уравнения $\cos x = 2x + 1$ построим графики функций $y = \cos x$ и $y = 2x + 1$.

График $y = \cos x$ — косинусоида. График $y = 2x + 1$ — прямая с угловым коэффициентом 2, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-\frac{1}{2}, 0)$.

Построим эскизы графиков. Проверим точку $x = 0$.
Для $y = \cos x$: $y = \cos(0) = 1$.
Для $y = 2x + 1$: $y = 2(0) + 1 = 1$.
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = 0$.

Для проверки единственности решения рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - (2x + 1) = \cos x - 2x - 1$. Её производная $h'(x) = -\sin x - 2$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-3 \le -\sin x - 2 \le -1$. Поскольку $h'(x) < 0$ для всех $x$, функция $h(x)$ является строго убывающей. Следовательно, она может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Таким образом, $x=0$ — единственное решение.
Ответ: $x = 0$.

г) Для графического решения уравнения $\cos x = -x + \frac{\pi}{2}$ построим графики функций $y = \cos x$ и $y = -x + \frac{\pi}{2}$.

График $y = \cos x$ — косинусоида. График $y = -x + \frac{\pi}{2}$ — прямая с угловым коэффициентом -1, проходящая через точки $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Построим эскизы графиков. Проверим точку $x = \frac{\pi}{2}$.
Для $y = \cos x$: $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Для $y = -x + \frac{\pi}{2}$: $y = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - (-x + \frac{\pi}{2}) = \cos x + x - \frac{\pi}{2}$. Её производная $h'(x) = -\sin x + 1$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $0 \le -\sin x + 1 \le 2$. Поскольку $h'(x) \ge 0$ для всех $x$ и обращается в ноль только в изолированных точках, функция $h(x)$ является строго возрастающей. Следовательно, она может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Таким образом, $x = \frac{\pi}{2}$ — единственное решение.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.