Номер 16.40, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.40. a) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1$;

б) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2$;

В) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}$;

Г) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3$.

а) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{2}$ влево. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x + \frac{\pi}{2}$.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на 1 единицу вверх. Это преобразование соответствует добавлению 1 ко всей функции.

Функцию можно упростить, используя формулу приведения $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(\alpha)$. В данном случае:

$y = -\sin(x) + 1$

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция косинус определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Стандартная область значений для функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \le 1$. Чтобы найти область значений для заданной функции, прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства: $-1 + 1 \le \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1 \le 1 + 1$. Отсюда получаем $0 \le y \le 2$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [0; 2]$.
• Период: Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $2\pi$. Горизонтальные и вертикальные сдвиги не влияют на период функции, поэтому период данной функции также равен $T = 2\pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{2}$ и вверх на 1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[0; 2]$. Период: $2\pi$. Упрощенный вид функции: $y = -\sin(x) + 1$.

б) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x - \frac{\pi}{3}$.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вниз. Это преобразование соответствует вычитанию 2 из всей функции.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Известно, что $-1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$. Вычтем 2 из всех частей неравенства: $-1 - 2 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2 \le 1 - 2$. Отсюда получаем $-3 \le y \le -1$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-3; -1]$.
• Период: Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $2\pi$. Сдвиги не влияют на период, поэтому период данной функции равен $T = 2\pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{3}$ и вниз на 2. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-3; -1]$. Период: $2\pi$.

в) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{2}$ вправо.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на $\frac{1}{2}$ единицы вверх.

Функцию можно упростить, используя формулу приведения $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\alpha)$. В данном случае:

$y = \sin(x) + \frac{1}{2}$

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Область значений для $\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Прибавив $\frac{1}{2}$ ко всем частям неравенства $-1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \le 1$, получим: $-1 + \frac{1}{2} \le \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2} \le 1 + \frac{1}{2}$. Отсюда $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.
• Период: Период функции не изменяется при сдвигах и равен $T = 2\pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{2}$ и вверх на $\frac{1}{2}$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$. Период: $2\pi$. Упрощенный вид функции: $y = \sin(x) + \frac{1}{2}$.

г) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{6}$ влево.
2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как $-1 \le \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$, то для нахождения области значений исходной функции вычтем 3 из всех частей неравенства: $-1 - 3 \le \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3 \le 1 - 3$. Отсюда получаем $-4 \le y \le -2$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-4; -2]$.
• Период: Период функции не изменяется при сдвигах и равен $T = 2\pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{6}$ и вниз на 3. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-4; -2]$. Период: $2\pi$.