Номер 16.41, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.41. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = -\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 1,5$ на промежутке:

a) $\left[ \frac{\pi}{6}; \pi \right];$

б) $(1; 9);$

в) $[231; 238];$

г) $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 1.5$ на заданных промежутках, сначала определим ее общие свойства. Область значений функции $\cos(z)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, область значений функции $-\cos(z)$ также является отрезком $[-1, 1]$. Таким образом, для функции $y = -\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 1.5$ область значений будет $[-1 + 1.5, 1 + 1.5]$, то есть $[0.5, 2.5]$.

Глобальное наименьшее значение функции равно $0.5$. Оно достигается, когда $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$, то есть при $x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Глобальное наибольшее значение функции равно $2.5$. Оно достигается, когда $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -1$, то есть при $x = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для анализа на отрезке найдем производную: $y' = \frac{d}{dx}(-\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 1.5) = \sin(x + \frac{\pi}{3})$. Критические точки, в которых производная равна нулю ($y'=0$), соответствуют точкам экстремума функции. Это происходит при $x = k\pi - \frac{\pi}{3}$.

а) Найдем значения функции на промежутке $[\frac{\pi}{6}; \pi]$.

1. Вычислим значения функции на концах промежутка.

При $x = \frac{\pi}{6}$: $y(\frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\frac{\pi}{2}) + 1.5 = 0 + 1.5 = 1.5$.

При $x = \pi$: $y(\pi) = -\cos(\pi + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\frac{4\pi}{3}) + 1.5 = -(-\frac{1}{2}) + 1.5 = 0.5 + 1.5 = 2$.

2. Найдем критические точки функции, попадающие в данный промежуток. Решим неравенство $\frac{\pi}{6} \le k\pi - \frac{\pi}{3} \le \pi$.

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \le k\pi \le \pi + \frac{\pi}{3} \implies \frac{\pi}{2} \le k\pi \le \frac{4\pi}{3} \implies \frac{1}{2} \le k \le \frac{4}{3}$.

Единственное целое значение $k$ в этом диапазоне — это $k=1$. Критическая точка: $x = 1 \cdot \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Эта точка принадлежит промежутку $[\frac{\pi}{6}; \pi]$.

3. Вычислим значение функции в этой критической точке.

$y(\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\pi) + 1.5 = -(-1) + 1.5 = 2.5$.

4. Сравнивая значения на концах отрезка ($1.5$ и $2$) и в критической точке ($2.5$), находим наименьшее и наибольшее значения.

Ответ: наименьшее значение $1.5$, наибольшее значение $2.5$.

б) Найдем значения функции на промежутке $(1; 9)$.

1. Найдем критические точки функции, попадающие в данный промежуток. Решим неравенство $1 < k\pi - \frac{\pi}{3} < 9$. Используя $\pi \approx 3.14$, получаем:

$1 + \frac{\pi}{3} < k\pi < 9 + \frac{\pi}{3} \implies 1 + 1.05 < 3.14k < 9 + 1.05 \implies 2.05 < 3.14k < 10.05 \implies 0.65 < k < 3.2$.

Целые значения $k$ в этом диапазоне: $k=1, 2, 3$.

2. Вычислим значения функции в этих точках.

При $k=1$: $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. Это точка максимума ($k$ нечетное), $y(\frac{2\pi}{3}) = 2.5$.

При $k=2$: $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \approx 5.24$. Это точка минимума ($k$ четное), $y(\frac{5\pi}{3}) = 0.5$.

При $k=3$: $x = 3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38$. Это точка максимума ($k$ нечетное), $y(\frac{8\pi}{3}) = 2.5$.

3. Все эти точки лежат внутри интервала $(1; 9)$. Так как на данном промежутке функция достигает своего глобального минимума ($0.5$) и глобального максимума ($2.5$), то эти значения и будут наименьшим и наибольшим на данном промежутке.

Ответ: наименьшее значение $0.5$, наибольшее значение $2.5$.

в) Найдем значения функции на промежутке $[231; 238]$.

1. Длина данного промежутка $238 - 231 = 7$. Период функции равен $2\pi \approx 6.283$.

2. Так как длина промежутка ($7$) больше периода функции ($2\pi$), на этом промежутке функция гарантированно примет свои глобальные наименьшее и наибольшее значения.

3. Глобальное наименьшее значение функции равно $0.5$. Глобальное наибольшее значение равно $2.5$. Убедимся, что точки, в которых они достигаются, попадают в интервал. Точка минимума $x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}$. Неравенство $231 \le 2k\pi - \frac{\pi}{3} \le 238$ выполняется для $k=37, 38$. Точка максимума $x = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{3}$. Неравенство $231 \le (2k+1)\pi - \frac{\pi}{3} \le 238$ выполняется для $k=37$. Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке совпадают с ее глобальными экстремумами.

Ответ: наименьшее значение $0.5$, наибольшее значение $2.5$.

г) Найдем значения функции на промежутке $[0; \frac{\pi}{2})$.

1. Найдем производную функции: $y' = \sin(x + \frac{\pi}{3})$.

2. Исследуем знак производной на данном промежутке. Если $x \in [0; \frac{\pi}{2})$, то аргумент синуса $x + \frac{\pi}{3}$ находится в промежутке $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6})$.

3. В промежутке $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6})$ (от $60^\circ$ до $150^\circ$) синус положителен, то есть $\sin(x + \frac{\pi}{3}) > 0$. Следовательно, производная $y' > 0$ на всем промежутке $[0; \frac{\pi}{2})$, а значит функция является строго возрастающей.

4. Для возрастающей функции на полуинтервале $[a, b)$ наименьшее значение достигается в левой точке $x=a$, а наибольшее значение не достигается.

Наименьшее значение: $y_{min} = y(0) = -\cos(0 + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\frac{\pi}{3}) + 1.5 = -0.5 + 1.5 = 1$.

Наибольшее значение на промежутке не существует, так как правая граница $\frac{\pi}{2}$ не включена в него. Функция стремится к значению $y(\frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) + 1.5 = -\cos(\frac{5\pi}{6}) + 1.5 = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.5 = 1.5 + \frac{\sqrt{3}}{2}$, но никогда его не достигает.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение не существует.