Номер 16.35, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область значений функции:

16.35. а) $y = 2 \sin x;$
б) $y = (3 \cos x - 2)^4;$
в) $y = -3 \cos x + 2;$
г) $y = (1 + 4 \sin x)^2$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = 2 \sin x$, мы начнем с известной области значений для $\sin x$.

Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство: $-1 \le \sin x \le 1$.

Теперь умножим все части этого двойного неравенства на 2, чтобы получить выражение для $y$: $2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1$.

Выполнив умножение, получаем: $-2 \le y \le 2$.

Таким образом, функция $y = 2 \sin x$ принимает все значения от -2 до 2 включительно.

Ответ: $[-2; 2]$.

б) Для нахождения области значений функции $y = (3 \cos x - 2)^4$ выполним последовательность действий.

1. Область значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Запишем это в виде неравенства: $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Умножим все части неравенства на 3: $3 \cdot (-1) \le 3 \cos x \le 3 \cdot 1$, что дает $-3 \le 3 \cos x \le 3$.

3. Вычтем 2 из всех частей неравенства: $-3 - 2 \le 3 \cos x - 2 \le 3 - 2$, откуда получаем $-5 \le 3 \cos x - 2 \le 1$.

4. Пусть $t = 3 \cos x - 2$. Тогда $-5 \le t \le 1$. Нам нужно найти область значений функции $y = t^4$.

5. Поскольку показатель степени (4) — четное число, значение $y$ всегда будет неотрицательным, то есть $y \ge 0$. Минимальное значение $y$ на отрезке $[-5; 1]$ достигается, когда основание степени $t$ равно нулю (так как $0 \in [-5; 1]$). Следовательно, $y_{min} = 0^4 = 0$.

6. Максимальное значение $y = t^4$ на отрезке $t \in [-5; 1]$ будет наибольшим из значений на концах отрезка: $\max((-5)^4, 1^4) = \max(625, 1) = 625$.

Таким образом, область значений функции $y$ — это отрезок от 0 до 625.

Ответ: $[0; 625]$.

в) Рассмотрим нахождение области значений функции $y = -3 \cos x + 2$.

1. Исходная область значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Умножим все части этого неравенства на -3. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-3 \cdot 1 \le -3 \cos x \le -3 \cdot (-1)$, что приводит к $ -3 \le -3 \cos x \le 3$.

3. Теперь прибавим 2 ко всем частям полученного неравенства: $-3 + 2 \le -3 \cos x + 2 \le 3 + 2$.

4. В результате получаем: $-1 \le y \le 5$.

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок от -1 до 5.

Ответ: $[-1; 5]$.

г) Для нахождения области значений функции $y = (1 + 4 \sin x)^2$ выполним следующие шаги.

1. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

2. Умножим все части неравенства на 4: $4 \cdot (-1) \le 4 \sin x \le 4 \cdot 1$, что дает $-4 \le 4 \sin x \le 4$.

3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $-4 + 1 \le 1 + 4 \sin x \le 4 + 1$, откуда $-3 \le 1 + 4 \sin x \le 5$.

4. Обозначим выражение в скобках как $t = 1 + 4 \sin x$. Мы получили, что $-3 \le t \le 5$. Теперь нам нужно найти область значений функции $y = t^2$.

5. Так как показатель степени (2) — четное число, значение $y$ всегда неотрицательно ($y \ge 0$). Минимальное значение функции $y = t^2$ на отрезке $[-3; 5]$ достигается при $t=0$ (так как $0 \in [-3; 5]$), поэтому $y_{min} = 0^2 = 0$.

6. Максимальное значение $y = t^2$ на отрезке $t \in [-3; 5]$ будет наибольшим из значений на концах отрезка: $\max((-3)^2, 5^2) = \max(9, 25) = 25$.

Таким образом, область значений функции $y$ — это отрезок от 0 до 25.

Ответ: $[0; 25]$.