Номер 16.29, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.29. Найдите область значений заданной функции на заданном промежутке:

а) $y = \sin x, x \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right];$

б) $y = \cos x, x \in (1; +\infty);$

в) $y = \sin x, x \in (-1; 6);$

г) $y = \cos x, x \in [1.2; 7.5].$

а) Для функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in [\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$. Длина этого промежутка составляет $\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 2\pi$, что равно периоду функции синус. Это означает, что на данном отрезке функция проходит полный цикл своих значений. Максимум функции, равный $1$, достигается при $x = \frac{\pi}{2}$, а минимум, равный $-1$, — при $x = \frac{3\pi}{2}$. Обе эти точки лежат внутри отрезка $[\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$. Поскольку функция непрерывна, она принимает все значения между $-1$ и $1$.
Ответ: $[-1; 1]$.

б) Для функции $y = \cos x$ на промежутке $x \in (1; +\infty)$. Функция косинус является периодической, и ее значения всегда находятся в пределах от $-1$ до $1$. Поскольку заданный промежуток для $x$ уходит в бесконечность, функция $\cos x$ примет все свои значения из отрезка $[-1; 1]$ бесконечное число раз. Например, точки $x = \pi \approx 3,14$ (где $\cos x = -1$) и $x = 2\pi \approx 6,28$ (где $\cos x = 1$) принадлежат промежутку $(1; +\infty)$. В силу непрерывности функции, её область значений на этом промежутке будет полной.
Ответ: $[-1; 1]$.

в) Для функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in (-1; 6)$. Чтобы найти область значений, нужно определить, достигаются ли на этом интервале глобальный максимум и минимум функции. Максимальное значение $\sin x = 1$ достигается в точке $x = \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, которая лежит в интервале $(-1; 6)$. Минимальное значение $\sin x = -1$ достигается в точке $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, которая также лежит в интервале $(-1; 6)$. Так как функция непрерывна и принимает на данном интервале свои наибольшее и наименьшее возможные значения, её область значений — это весь отрезок от $-1$ до $1$.
Ответ: $[-1; 1]$.

г) Для функции $y = \cos x$ на промежутке $x \in [1,2; 7,5]$. Данный промежуток является замкнутым отрезком. Найдём, достигаются ли на нём экстремальные значения функции. Максимальное значение $\cos x = 1$ достигается в точке $x = 2\pi \approx 6,28$. Это значение находится внутри отрезка $[1,2; 7,5]$. Минимальное значение $\cos x = -1$ достигается в точке $x = \pi \approx 3,14$. Это значение также находится внутри отрезка $[1,2; 7,5]$. Поскольку функция непрерывна и на заданном отрезке достигает как своего глобального максимума, так и глобального минимума, её область значений покрывает весь отрезок между этими значениями.
Ответ: $[-1; 1]$.